Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

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Chapitre 1 Rappels sur les processus de Markov 1.1 Introduction aux processus de Markov 1.1.1 Champs et processus aléatoires Beaucoup de problèmes en physique, biologie, etc, ramène à l’étude des champs aléatoires, qui sont des collections des variables aléatoires X t , t ∈ I, où l’ensemble des indices I peut-être N d , Z d , R d , un ensemble fini, etc. Pour le cas des indices unidimmensionels I = N(Z) et I = R on utilise aussi le nom processus stochastiques (à temps discret, respectivement continu). Définition 1.1.1 Soit I un ensemble quelconque. On appelle processus aléatoire X indexé par I toute famille (X t ) t∈I , de vecteurs aléatoires définis sur un même espace de probabilité (Ω, A, P) et à valeurs dans d’états E. Celui la peu-être E = R p , C p , ou même un espace des fonctions comme E = C [0,∞) , C (p) [0,∞) , etc. Note : Lorsque E = R p et p = 1, une seule valeur est observée à chaque ”instant” t, alors que lorsque p > 1, plusieurs variables sont observées et on parle de processus multidimensionnels ou multivariés. L’espace I est souvent le temps, ainsi : I = N : instants successifs à partir d’un instant initial t 0 . I = Z : instants successifs avant et après un instant t 0 . I = R ou R + : idem mais processus à temps continu. I = Z 2 : images. I = Z 3 : modèle de la matière. Nous allons considèrer ici seulement des processus à indices unidimmensionels N, Z, R (les premièrs deux cas étant appellés aussi séries chronologiques en statistique). L’étude est facilité alors par l’existence d’un ordre complet entre les indices. Dans le cas des espaces d’états E finis ou dénombrables, les variables X i , i ∈ I sont appellées discrètes; pour E = R d , on parle des variables continues. Le cas discret est le cas plus simple, car il permet d’éviter plusieurs details téchniques (par exemple, dans ce cas, l’ensemble des evenements mesurables pour une variable X i0 est simplement l’ensemble de toutes les parties de E). Pour modéliser un champs/processus il est necessaire de spécifier de manière consistente l’ensemble de toutes ses distributions jointes d’ordre fini. 4
Définition 1.1.2 Soit X . = X t , t ∈ I un champs aléatoire et soit J ⊂ I un sous ensemble fini. On dénotera par X J la distribution jointe des variables X t , t ∈ J. L’ensemble X J : J ⊂ I, |J| < ∞ sera appellé la famille des distributions jointes d’ordre fini de X . En pratique, des proprietés supplementaires sont necessaires pour reduire la complexité inherente dans le modèle ci dessu. Les processus à variables X t indépendants sont simples à utiliser, mais peut-être trop simples pour modéliser des phénomènes intéressants. dans ce cas, les distributions jointes sont simplement des produits. Le prochaîne degré de complexité est donné par les processus Markoviens. Ils incluent les marches aléatoires S n = ∑ n i=1 Z i, Z i i.i.d., mais cette famille est aussi une trasformation simple des processus à variables indépendants, et ça simplifie son étude (par exemple la démonstration du CLT). La classe des processus Markoviens est extremement riche, avec une complexité qui depend des ensembles E, I. 1.1.2 Les processus de Markov Définition 1.1.3 -Proprietè de Markov Un processus X = (X t ) t≥0 , avec t unidimmensionel a la proprietè de Markov si, et seulement si ses probabilités conditionelles ne depend pas du passé que par le passé imediat, i.e. ∀ 0 ≤ t0 < t 1 < · · · < t k < t , t i ∈ R, et ∀ e i0 , e i1 , ..., e ik , e i ∈ E P ([X t ∈ A] | [X t0 = e i0 , ..., X tk = e ik ]) = P ([X t ∈ A] | [X tk = e ik ]) Interprétation de la propriété de Markov : si on considère que le processus est indicé par le temps, cette propriété traduit le fait que le présent ne dépend du passé qu’à travers le passé immédiat. Un processus ayant la proprietè de Markov s’apelle processus de Markov. Exemples : 2.3 et 2.1 de Ruegg, et les exemples de Belisle. Définition 1.1.4 Matrice des transitions Pour tous 0 ≤ s ≤ t, pour tous i, j dans I, et pour chaque processus de Markov, on définit les probabilités de transition par : p ij (s, t) = P ([X t = e j ] | [X s = e i ]). Définition 1.1.5 Homogeneité des transitions Un processus est dit homogène si, et seulement si : ∀ i, j ∈ I , ∀ 0 ≤ s ≤ t , p ij (s, t) = p ij (0, t − s) . On note alors p ij (s, t)= p ij (t − s), et la matrice p ij (t) est appellée matrice de transition après temps t. Hypothèse de travail : (H1) On ne considérera ici que des processus homogènes. L’exemple le plus simple des processus de Markov homogènes est fourni par les ”chaînes de Markov” en temps discret et à espace d’états fini ou dénombrable.
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