Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

et du fait que les distributions conditionnées par le premier pas du ”reste” N ′ sont
connues : a) (N ′ |X 1 = P) ≡ 0 et b) L(N ′ |X 1 = F) = L(N (1) ) par le fait que la
seule difference entre les réalisations possibles de N ′ et ceux de N (1) est le moment ”de
départ de la montre”, qui n’affecte pas la distribution d’une chaîne homogène).
3. Trouvez l’espérance m = EN (2) du nombre des essais jusqu’à ce qu’on obtient deux
piles consécutives. Ind : Sauf m, il faudra trouver en même temps m 1 = E 1 N (2) du
nombre des essais jusqu’à ce qu’on obtient deux piles consécutives, à partir du moment
qu’on a obtenu la première.
4. Généraliser pour k = 3 piles consécutives, et pour k arbitraire.
5. ”Mieux que les moments :” Trouvez la fonction génératrice des probabilités ϕ ∗ (z) =
N (1)
Ez N(1) = ∑ ∞
k=0 p kz k , et deduisez l’espérance EN (1) , en calculant ϕ ′ (1).
6. Soit k = 2. Abordez les mêmes questions pour ϕ ∗ (z), ainsi que pour ϕ ∗ N (k) N (k)′(z), où
la dernière variable représente le nombre des essais jusqu’à ce qu’on obtient k piles
consécutives, en incluant la suite finale des piles.
Trouver les probabilités P[N (2) = k] pour q = 1/3.
7. Reabordez la question precedente pour k = 3.
Solutions :
1. L’espace des experiments est : E = {P, FP, FFP, FFFP, ...} = {P } ∪ FE.
p k = pq k , k = 0, 1, .... On a à faire avec une distribution bien connue (la géométrique!!).
2. Il est quand même intéressant de remarquer que l’espérance peut aussi se calculer par
un conditionnement sur le premier pas :
m 1 = p × 0 + q(1 + m 1 ) ⇐⇒ m 1 = q p
Note : Pour l’autre définition d’une variable g’eométrique N (1)′ := N (1) + 1 ∈ {1, 2, ...}
(en incluant la première face), on obtient par le résultat précedent
n := EN (1)+1 = E(N (1) + 1) = 1 p ,
ou encore par conditionnement sur le premier pas :
n = E[N (1)+1 ] = P[X 1 = P]E[N (1)+1 |{X 1 = P }] + P[X 1 = F]E[N (1)+1 |{X 1 = F }]
= P[X 1 = P]1 + P[X 1 = F](1 + E[N (1)+1 ]) = p ∗ 1 + q ∗ (1 + n) = 1 + q ∗ n
3. Remarquons que les trois evenements PP, PF, F fournissent une decomposition :
E = {F E} ∪ {PF E} ∪ {PP}
de l’espace d’états qui permet soit de constater que notre evenement d’arrêt est arrivé,
soit de relancer le processus du debut. Par conséquant :
n = q(n + 1) + pq(n + 2) + 0p 2 ⇐⇒ n =
q(1 + 2p)
1 − q − pq = 1 + p
p 2 − 2