Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Remarque 1.3.1 Le nombre esperé d’arivées du processus de Poisson dans un interval de
longueur t est : E[N(s + t) − N(s)] = λt.
Exemple 1.3.1 Considèrons la distribution du nombre d’accidents de voiture dans une ville,
par jour. a. Est ce-que ce nombre d’accidents pourra suivir approximativement une loi de
Poisson? b. Trouver i. la probabilité qu’il y ait au plus trois accidents un jour donné. ii.le
nombre moyen d’accidents (M) pour lequel la probabilité d’avoir trois accidents ou plus un
jour donné est < 0.05. (On exprimera cette probabilité en fonction de l?inconnue M et on
en déduira une équation qu’il faudra résoudre numériquement).
Exercice 1.3.1 Des clients arrivent dans une banque selon un processus de Poisson N(t), t ∈
R, de paramètre λ = 1.2 (l’unité de temps est la minute).
1. Il arrive en moyenne combien de clients en 10 mn?
2. Donnez la loi de probabilité de N(2), le nombre de clients qui arrivent en deux minutes,
et esquisser le graphique de p k = P[N(2) = k], pour k=0,1,2,3,4,5.
3. Donnez la probabilité que personne n’arrive durant 2 mn, et après ça que 3 personnes
arrivent dans les 4 mn suivantes.
4. Donnez la probabilité q 3 que 3 personnes arrivent en 4 mn, vérifiez que q 3 = p 0 p 3 +
p 1 p 2 + p 2 p 1 + p 3 p 0 , et expliquez pourquoi.
Exercice 1.3.2 a) Montrez que la distribution du temps de la prochaine arrivée d’un processus
de Poisson de paramètre λ est exponentielle a paramètre λ.
b) Trouver la distribution du temps de la n-ième arrivée d’un processus de Poisson.
1.3.3 Processus de comptage et renouvellement en temps continu
Motivation : La plupart des phénomènes aléatoires demandent une modélisation et
étude au cours du temps, comme les processus de comptage (où de naissances) N t , t ∈ R + ,
tq les :
• appels arrivant dans un standard téléphonique
• arrivées de clients à un guichet
• survenue de pannes dans un parc de machines, ...
Définition 1.3.2 Un processus (N t ) t∈R+
est appelé processus de comptage s’il prend des
valeurs dans N et s’il vérifie les trois propriétés suivantes :
(i) 0 ≤ s ≤ t ⇒ N s ≤ N t
(ii) N s a des chemins ”cadlag”, i.e. continues à droite et avec des limites à gauche
(iii) P[N s − N s− > 1] = 0
Il s’agit donc des processus non décroissants et qui n’augmentent jamais avec plus d’une
unité, et qui modélisent la réalisation d’une suite d’événements aléatoires d’un même type
au cours du temps. Soit a i , i = 1, 2, ... les temps entre deux arrivés consecutives.
Définition 1.3.3 Un processus de comptage pour le quel les temps entre deux arrivés consecutives
sont des variables aleatoires i.i.d. s’appelle processus de renouvellement.
Les temps de renouvellement (ou les temps de la n-iême arrivée) sont :
A n =
n∑
a i , n = 0, 1, 2, ...
i=1