Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

1.7 Exercices
1. Considérez une particule effectuant une marche aléatoire simple X t , t = 0, 1, 2, ...
sur le graphe (A) ci-dessous : i.e. à chaque moment t = 1, 2, ..., la particule se déplace
vers l’un de ses voisins sur le graphe à sa position actuelle, avec la même probabilité
pour chaque choix.
(A)
(B)
1
1
2 3
2 3
0
0
5
4
5
4
(a) Calculer :
(b)
i. L’ésperance en sortant de 1 du nombre de pas T 0 jusq’au noeud 0. Indication :
Utiliser la symmetrie.
ii. L’ésperance en sortant de 0 du nombre de pas ˜T 0 jusq’au premier retour en
0.
iii. Les probabilités stationnaires de chaque noeud. Indication : On peut utiliser
les èquations d’équilibre detaillé.
iv. La probabilité x 2 = P 2 {X T = 1}, où T = min[T 1 , T 0 ].
v. Les probabilités p k en partant de 1 que la marche visite 0 exactement k fois
(k = 0, 1, 2, ...) avant le premier retour en 1.
À un moment donné, le passage sur certaines arrêts du graphe devient impossible,
ou possible seulement dans une direction, comme indiqué par des flèches dans
le graphe (B). Plus précisement, la particule continue de choisir des destinations
suivant le graphe (A) (”aveuglement”), mais les choix qui ne sont plus disponibles
résultent dans un pas annulé, donc sur place.
i. Donnez la matrice de transition de la marche.
ii. Identifiez les classes de la chaîne, et classifiez les en récurrentes et transitoires.
iii. Trouvez la distribution stationnaire de chaque classe récurrente.
iv. Est-ce que la limite au sense de Caesaro quand n → ∞ de la matrice de
transition apres n étapes P n existe? Le cas écheant, trouvez-la.