Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

3. Montrez que la transformée de Laplace du temps de vidage d(x) =
E x e −δT 0
, δ > 0 est de la forme d(x) = z x ; déterminez z. Donnez l’intérpretation
probabiliste de z.
Calculez aussi la transformée de Laplace du ”temps de repos” -”idle-time”.
Solution :
(a) 1. p x = P x [X(T) = K] satisfait :
(Gp) x = 0 for any 1 ≤ x ≤ K − 1
p K = 1
p 0 = 0
Comme c’est une equation homogêne, et les racines de l’equation auxiliare sont µ λ and
1, on obtient p x = A 1 + A 2 ( µ λ )x = 1−( µ λ )x
1−( µ λ )K .
2. t x = E x [T] (temps d’arrêt esperé) satisfait une equation nonhomogène
(Gt) x + 1 = 0
t 0 = 0
t x
accroit non-exponentiellement quand x → ∞
Comme c’est une equation nonhomogêne, on obtient t x = p x +˜t x , ou ˜t x = cx. La solution
particulière est ˜t x = x , la condition a ∞ annule le terme A µ−λ 2(µ/λ) x et la condition
initiale annule A 1 , et alors la solution de l’equation nonhomogene est t(x) = x
3. d(x) = E x e −δT satisfait :
(Gd)(x) − δd(x) = 0
d(0) = 0
d(∞) ≤ 1
µ−λ .
Comme c’est une equation homogêne, et l’equation auxiliare
λa 2 − (λ + µ + δ)a + µ = 0 ⇐⇒ µ(a −1 − 1) + λ(a − 1) = (1 − a) µ − aλ
a
= δ
a exactement une racine z qui n’est pas plus grande que 1, on obtient p x = z x . Par
exemple, avec δ = 0 on obtient z = 1.
τ, z sont l’ésperance et la transformé de Laplace d’une periode de decroisement par 1
de la file (”busy period”). On peut aussi interpreter z comme la valeur actualisée (par
rapport au taux δ d’une unite monetaire qu’on recevra apres que la file decroise par 1.
Remarque : La distribution de la periode de decroisement par 1 de la file (”busy period”)
est importante justement a cause des structures additive/multiplicative signalé
ci-dessus.