Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

FILES D’ATTENTE, FIABILITÉ, ACTUARIAT
Pour tout i de {0, ..., B}, calculer a i + b i . Que peut-on en déduire?
Calculez les probabilités de ruine quand B → ∞, pour p > q et pour p ≤ q. Expliquez
la rélation avec le comportement de X t , t → ∞.
5. Obtenez un système d’équations pour l’espérance du gain final f i = E i X T . Calculez
cette fonction pour p = q.
6. Obtenez un système d’équations pour l’espérance du temps de jeu : t i = E i T. Calculez
cette fonction, pour p = q, et pour p < q, quand B → ∞.
7. Obtenez un système d’équations pour l’espérance du ”coût cumulé d’inventoire” c i =
E i
∑ T −1
t=0 X t. Calculez cette fonction, pour p = q, et pour p < q, quand B → ∞.
8. Obtenez un système d’équations pour w i = E i a T = ∑ k=0 P i[T = k]a k (qui est la
fonction génératrice des probabilités P i [T = k]). Calculez cette fonction, pour p ≠ q.
9. Obtenez les équations de récurrence et les conditions frontière satisfaites par u x =
E x a T g(X T ), a ∈ (0, 1) et par v x = E x [a T g(X T ) + ∑ T −1
t=0 h(X t)], a ∈ (0, 1).
Résolvons cet exercice en utilisant la méthode du conditionnement sur le premier pas
Z 1 , l’idée de quelle est d’obtenir des relations de récurrence qui lient les valeurs de l’espérance
conditionnée à partir de tous les points de départ possibles.
Nous verrons, en examinant les questions 2)-8) de cet exercice, qu’ils utilisent toutes le
même opérateur
(Gf) n := (P − I)(f) n = p f n+1 + q f n−1 − f n (1.5) op
la seule difference étant dans les conditions frontière et dans la partie nonhomogène. En plus,
ils se regrouperont en deux types de questions :
1. ”Gain final esperé”, satisfaisant :
f n = E n [g(X T )] = pf n+1 + qf n−1 ⇐⇒ (Gf) n = 0,
F(0) = g(0), F(B) = g(B)
2. ”Coût total accumulé esperé”
∑T −1
f n = E n [ h(X i )] = h(n) + pf n+1 + qf n−1 ⇐⇒ (Gf) n = 0, f(0) = 0, f(B) = 0
Solution :
1. b 0 = 0, b B = 1
0
2. Gain final esperé, g(x) = 1 x=B .
En conditionnant, on trouve :
b n = P n [X(T) = B]
= p P n [X(T) = B/X(1) = n + 1] + q P n [X(T) = B/X(1) = n − 1]
= p b n+1 + q n−1 1 ≤ n ≤ B − 1
car
P n [X(T) = B/X(1) = n ± 1] = P[X(T) = B/X(0) = n, X(1) = n ± 1] =
P[X(T) = B/X(1) = n ± 1] = P[X(T) = B/X(0) = n ± 1] = b n±1
en utilisant la proprieté de Markov et l’homogeneité.