Processus de Markov, de Levy, Files d'attente, Actuariat et Fiabilité ...

(
q1 p 1 |
)
0
ser Exercice 1.5.15 Soit la matrice de transition 0 q 2 | p 2
0 0 | 1
a) Trouvez l’espérance de N.
b) Généralisez au cas des matrices de ce type (série) de taille K + 1.
c) Soit N = N 1 + N 2 , où N i est le nombre de fois qu’on reste en i. Montrez que la
distribution de N 1 conditionné par N est uniforme et calculez la distribution de N, si q 1 =
q 2 = q.
Remarque 1.5.7 On peut aussi résoudre l’exercice en remarquant que N i sont des variables
géométriques, et donc N est hypergéométrique (une somme des géométriques).
(
q1 0 |
)
p 1
par Exercice 1.5.16 Soit la matrice de transition 0 q 2 | p 2 et la distribution initiale
0 0 | 1
(β 1 , β 2 , 0). Trouvez l’espérance et la distribution de N.
Voir aussi Ruegg, 2.6.3.
Conclusion : Les distributions de type phase demandent le calcul des puissances/exponentielles
de matrices. Ces expressions sont très vite obtenues par logiciels comme Matlab, etc, et leur
formule a toutes les apparences d’une expression analytique; mais, comme pour la plupart
des matrices, les valeurs propres ne sont pas accessible analytiquement, leur calcul demande
en effet une évaluation numérique.
1.5.6 Classification des quelques problèmes sur les esperances des
fonctionelles dependant des temps de premier passage
Les problèmes de Dirichlet ont comme objet l’étude des temps de sortie τ, de la distribution
du point de sortie X τ ∈ ∂, et des diverses autres fonctionnelles comme des prix
finaux ou des coûts accumulés par un processus jusqu’au moment de son absorbtion en ∂. Ils
ramènent toujours aux systèmes specifiant les relations entre les esperances des fonctionelles
conditionnées par le point de départ.
Exercice 1.5.17 Obtenez les équations de Dirichlet pour les probabilités p d’absorbtion dans
un sous-ensemble A ⊂ ∂, et les temps esperés d’absorbtion t, (à partir des diverses états
initiaux, voir Ch. 2.6, Part 1), en conditionnant sur le moment de la premiére transition,
pour un processus de Markov avec un état absorbant, à matrice génératrice (de taux de
transitions) donnée par :
( )
G = B b
0 0
où b = (−B)1.
Obtenez par conditionnement sur la position après la première transition les transformés
de Laplace
l i (s) = f ∗ i (s) = E i [e −sτ 1 {Xτ ∈A}
des temps d’absorbtion.
Sol : Les trois équations sont respectivement
˜Gp = 0
p i = 1 A (i),
∀i ∈ ∂