ModÃ©lisation de l'Ã©coulement diphasique dans les injecteurs Diesel

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96CHAPITRE 4 : LE MODÈLE DE MÉLANGE HOMOGÈNE À L’ÉQUILIBRE(HEM)Par commodité, on simplifie la notation en notant le terme multiplicatif du logarithme P gl . Ce terme a ladimension d’une pression et est fonction des propriétés de la vapeur et du liquide :P gl = ρ ga 2 gρ l a 2 l (ρ g − ρ l )ρ 2 ga 2 g − ρ 2 l a2 l. (4.38)La loi d’état HEM H peut donc être formulée de la façon suivante :[]ρ l a 2 lP = H(ρ) = P g,sat + P gl log(ρ l + α(ρ g − ρ l ))(ρ g ρg a 2 g − α(ρ g a 2 g − ρ l a 2 l )) . (4.39)La valeur de la pression pour le cas où le fl uide est purement gazeux (α = 1) est :[ ] a2P (α=1) = P g,sat + P gl log lρ l ρ ga 2 l ρ = P g,sat , (4.40)lρ get la valeur de la pression P l,sat quand α = 0 (le fl uide est du liquide) est :[ a2P l,sat = P g,sat + P gl log lρ 2 ]la 2 gρ 2 . (4.41)g[ ]a2lLe terme P gl logρ2 lareprésente l’écart de pression entre l’état purement vapeur (à la pression de vapeur2g ρ2 gsaturante) et l’état purement liquide. Il est noté ∆ l gP . Nous allons voir, dans la section suivante, que ceterme est important pour étendre l’expression de la loi d’état pour du liquide compressible.4.4 Extension de la loi d’état HEMLa loi d’état est écrite pour le domaine diphasique : ρ g ≤ ρ ≤ ρ l (ce qui correspond à un taux devide α ∈ [0, 1]). Dans les domaines où l’écoulement est purement gazeux ou liquide, on écrit une équationd’état supposant une transformation isentropique, avec des vitesses du son de chaque phase constantes (voiréquation 4.32). Ainsi :Ce qui entraîne, après intégration :∫ PP =0∫ Pd P =∫ ρP =P l, sa td P =ρ=0∫ ρa 2 gd ρ si ρ < ρ g ,ρ=ρ la 2 l d ρ si ρ > ρ l .(4.42)P = a 2 gρ si ρ < ρ g ,P = P l,sat + a 2 l (ρ − ρ l ) si ρ > ρ l .(4.43)Le domaine liquide est modélisé comme un gaz parfait dont la compressibilité est très faible (vitesse du sonimportante). La continuité de l’équation est effective sur tout l’intervalle d’utilisation du modèle. La courbede la loi d’état en log-log est montrée dans la figure 4.2, avec les entrées suivantes : ρ g = 1 × 10 −2 k g /m 3 ,a g = 150m/s (car P g,sat = 250P a pour du gasoil à 100˚C), ρ l = 770k g /m 3 , et a l = 1200m/s. On peutremarquer au premier abord les forts gradients de pression et de masse volumique rencontrés dans la partiediphasique. Comme nous l’avons dit dans le chapitre précédent, l’interface est une discontinuité que nousavons modélisée ici de façon continue (voir figure 4.3 en échelle log/linéaire). On voit que dans cette zone,qui représente la partie diphasique de la loi d’état, le gradient de masse volumique est très important auregard de la variation de la pression (770k g /m 3 à 1k g /m 3 , la pression variant de 1500 à 5000 Pa). Cettevariation montre bien le saut de masse volumique à l’interface entre la vapeur et le liquide.Dans la zone liquide (ici pour ρ = 770k g /m 3 ), on voit que la pression peut varier de 10 4 à 10 7 P a sanschangement notable de la masse volumique. C’est une zone “ pseudo-incompressible” , c’est à dire que lamasse volumique varie très peu en fonction de la pression. Le carburant est dans cette zone encore liquide, etdonc très faiblement compressible. La loi d’état représente bien cette caractéristique du fl uide. Néanmoins,
CHAPITRE 4 : LE MODÈLE DE MÉLANGE HOMOGÈNE À L’ÉQUILIBRE(HEM) 9710 8 Masse volumique (kg/m3)10 710 610 5Pression (Pa)10 410 310 210 110 00 100 200 300 400 500 600 700 800FIG. 4.2: Équation d’état HEM. Courbe log/log.5000450040003500Pression (Pa)3000250020001500100050000 100 200 300 400 500 600 700 800Masse volumique (kg/m3)FIG. 4.3: Zone interfaciale de la loi d’état.
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