Modélisation de l'écoulement diphasique dans les injecteurs Diesel

116 CHAPITRE 5 : ÉLABORATION DU CODE CAVIFLa matrice reliant le système Ũ utilisée pour intégrer les équations au système U sur lequel on réalisel’analyse aux limites est :P = ∂Ũ∂U , (5.36)et peut être écrite :On peut alors calculer P −1 , inverse de P :P =P −1 =⎛⎜⎝⎛⎜⎝1 0 0 0u ρ 0 0v 0 ρ 0w 0 0 ρ⎞1 0 0 0− u 1ρ ρ0 0− v 1ρ0ρ0− w 1ρ0 0ρ⎟⎠ . (5.37)⎞⎟⎠ . (5.38)On définit maintenant le vecteur F k des variables conservatives selon la direction k, normale à la sortie dudomaine de calcul (ici la direction x) :On peut alors écrire :F x = ( ρu, ρu 2 + p, ρuv, ρuw ) t. (5.39)∂F x∂xLa matrice Q x est composée d’éléments qij x tels que :∂U= Qx∂x . (5.40)et la matrice Q x s’écrit donc :Q x =⎛⎜⎝q x ij = ∂F x i∂U j, (5.41)u ρ 0 0u 2 + a 2 2ρu 0 0uv ρv ρu 0uw ρw 0 ρuLe système d’équations à résoudre peut s’écrire maintenant sous la forme :⎞⎟⎠ , car dp = a2 dρ. (5.42)∂Ũ∂t + ∂F x∂x + ˜C = 0 ; (5.43)˜C contient tous les termes dans lesquels n’apparaît aucune différentielle de premier ordre de Ũ selon ladirection x. Ces termes sont supposés être convectés passivement selon x et ne jouent aucun rôle dansl’analyse des ondes caractéristiques. En définissant A x = P −1 Q x , on peut réécrire l’équation 5.43 sousforme primitive, sachant que :∂U∂tLa matrice A x est calculée et est égale à :+ Ax∂U∂x + C = 0, avec C = P −1 ˜C. (5.44)A x =⎛⎜⎝u ρ 0 0a 2ρu 0 00 0 u 00 0 0 u⎞⎟⎠ . (5.45)