Modélisation de l'écoulement diphasique dans les injecteurs Diesel

94CHAPITRE 4 : LE MODÈLE DE MÉLANGE HOMOGÈNE À L’ÉQUILIBRE(HEM)4.2.4 Calcul du gradient de pression dû à la gravitéLa chute de pression due à la gravité est trouvée en substituant ρ des équations 4.9 dans 4.7 :( ) dPρ g ρ l− = g cos θ(4.24)dzXρ l + (1 − X)ρ g4.2.5 Équation de la vitesse du sonGEn combinant les équations 4.17, 4.23 et 4.24 dans la forme de l’équation 4.4, on obtient une expressionà partir de laquelle on peut calculer le gradient de pression comme suit :( ) ( ) ( )− dP2C f G 2 Xdz = D ρ g+ 1−Xρ l+ G 2 dX 1dz ρ g− 1 ρ l− G 2 Xρ g+ 1−X 1 dAρ l A dz + g cos θ ρ gρ lXρ l +(1−X)ρ g( )( )] .1 + G[X 2 d 1dP ρ g+ (1 − X) d 1dP ρ l(4.25)Cette équation peut être exprimée de plusieurs façon, selon les substitutions de variables que l’on veuteffectuer. Néanmoins, le sens physique de la contribution de chacun des termes au gradient de pressionreste, et est de la forme :− dPdz = C dXF + C X dz + C A 1 dAA dz + C gg cos θ1 − M 2 . (4.26)Dans cette équation, C F , C X , C A , et C g sont des coefficients qui expriment respectivement les effets defriction, changement de phase, changement de section et gravité sur le gradient de pression. Le terme M 2 audénominateur a la même signification que le nombre de Mach au carré dans un écoulement monophasique.Ansi, En comparant les équations 4.25 et 4.26 et en utilisant l’équation 4.15, on peut déduire l’expressionde la célérité d’une onde de pression dans le mélange diphasique homogène :a =(−ρ 2 [X ddP( 1ρ g)+ (1 − X) ddP( 1ρ l)]) − 12En utilisant les équations 4.8, 4.10 et 4.11, une autre expression en fonction de α est trouvée :{(a = [αρ g + (1 − α)ρ l ][αρ g − d ( )) (1+ (1 − α)ρ l − d ( ))]} − 112dP ρ g dP ρ l(4.27)(4.28)Les vitesses du son dans chaque phase sont définies de la façon suivante :a 2 l = dP (= ρ −2l− d ( )) −1 1(4.29)dρ l dP ρ lL’équation 4.28 peut alors être écrite comme :[1αa 2 = [αρ g + (1 − α)ρ l ]ρ g a 2 ga 2 g = dP (= ρ −2g − d ( )) −1 1(4.30)dρ g dP ρ g+ 1 − α ]ρ l a 2 l(4.31)La courbe représentative de la variation de la vitesse du son dans le mélange diphasique en fonction dutaux de vide est montrée dans la figure 4.1. Les vitesses du son pour la vapeur pure et le liquide pur sontconstantes, et entre ces deux extrêmes on peut voir que la vitesse varie de manière assez importante. Enfait, dans le cas d’un mélange diphasique, la vitesse du son du mélange chute bien en-deçà des vitessesdes phases pures. Pour une gamme importante de taux de vide, elle est même inférieure à 2m/s. On peutexpliquer ce comportement par les réfl exions des ondes entre les interfaces des deux phases. Cela nousamène à deux constats :– au vu des valeurs de la vitesse du son, on peut penser que l’écoulement devient supersonique localement;– comme le nombre de Mach est important, la compressibilité de l’écoulement dans le domaine diphasiqueest une évidence.