ModÃ©lisation de l'Ã©coulement diphasique dans les injecteurs Diesel

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108 CHAPITRE 5 : ÉLABORATION DU CODE CAVIFstructure “ALE” (Arbitrary Lagrangian-Eulerien) : c’est une formulation mixte pour laquelle les élémentsfl uides se déplacent avec une vitesse arbitraire dite “ vitesse de grille” . Cette formulation a l’avantage, enplus de sa capacité à traiter des domaines déformables, de décomposer l’opérateur différentiel temporel entrois étapes :– contribution de tous les termes source ;– contribution du gradient de pression et de la diffusion visqueuse ;– contribution des termes convectifs.Les deux premières étapes, purement lagrangiennes (dite phases A et B), ne voient la variation desquantités que par l’évolution des termes sources (chimie, diffusion, forces de pression). Les termes convectifsn’interviennent pas dans ces étapes puisque le maillage suit le fl uide avec sa vitesse.Pendant la troisième étape, eulérienne (dite phase C), le maillage se déplace avec sa vitesse propre et lestermes convectifs qui résultent de la différence de vitesse entre le fl uide et le maillage sont pris en comptedans le calcul de la solution finale.Le modèle de mélange est expliqué dans le chapitre §4. Le principe de ce modèle est de pouvoir exprimerla valeur de la pression à chaque endroit du domaine grâce à une simple relation analytique nedépendant que de la masse volumique du mélange. Cela permet de résoudre des configurations d’écoulementsdans lesquelles les variations de pression sont très importantes, sans craindre d’obtenir de fortesinstabilités numériques. Les changements de phase dans l’écoulement seront calculés de façon “ implicite”au sens propre du terme par l’évolution de la masse volumique, il n’y a donc besoin de la phase lagrangienneque pour le calcul des forces de gradient de pression et des contraintes visqueuses dans l’équationde quantité de mouvement.5.3.1.2 Description des équationsLe système à résoudre est un système classique des équations de Navier-Stokes pour un fl uide monophasique,compressible et visqueux, en trois dimensions :avec :∂ρ∂t + ∂(ρu j)= 0∂x j∂(ρu i )+ ∂(ρu iu j )= − ∂P + ∂τ ij∂t ∂x j [ ∂x i ∂x j]ρ l a 2 lP = P g ,sa t + P g l log(ρ l + α(ρ g − ρ l ))(ρ g ρg a 2 g − α(ρ g a 2 g − ρ l a 2 l )) ,τ ij = 2µd ij − 2 3 µ ∂u jδ ij ; d ij = 1 ( ∂ui+ ∂u )j∂x j 2 ∂x j ∂x i(5.19)(5.20)La résolution du système d’équation se fera de la façon suivante : en tout point du domaine de calcul,on exprimera la variation en temps de masse volumique ( ∂ρ∂t) et la variation en temps de la quantité de mouvementdans les trois directions ( ∂ρ u∂t, ∂ρ v∂tet ∂ρ w∂t). Il sera ensuite aisé de calculer les grandeurs physiquesρ, u, v et w et de déduire la pression P grâce à l’équation d’état.5.3.2 Discrétisation spatialeLe calcul en volumes finis consiste à considérer que l’équation est satisfaite “ en moyenne” sur unvolume de contrôle donné. Soit Φ une grandeur définie en chaque point du domaine, on peut écrire :∫Φdv = Φ Ω V Ω . (5.21)ΩDans la suite de ce chapitre, et par souci de simplicité dans les équations, les notations ρ, P , u i , µ représententles valeurs dans les volumes de contrôle respectifs. Pour dériver Φ ponctuellement selon la directionx, en utilisant la formule de Green (qui permet de remplacer les intégrales de volume par des intégrales desurface), on peut écrire :∫ ∫∂Φ∂x dv = Φ.n x dS, (5.22)∂ΩΩ
CHAPITRE 5 : ÉLABORATION DU CODE CAVIF 109FIG. 5.5: Numérotation locale desnoeuds de la maille i4FIG. 5.6: Partie du volume de contrôle dequantité de mouvement centré en i4 quiappartient à la maille i4avec Ω, volume de contrôle de Φ. Il faut discrétiser l’ensemble du domaine par des mailles hexaédriques(mailles à six faces). Chaque sommet de la maille régulière est un noeud du maillage, et l’ensemble de cesmailles constitue le maillage sur lequel sont calculées les dérivées spatiales. Toute grandeur a une valeuruniforme à l’intérieur d’une maille et sur chacune des faces de celle-ci. Comme chaque élément (maille ounoeud) doit être identifiable, voyons comment sont numérotés ces éléments.5.3.2.1 NumérotationsNumérotation mono-indicielle globaleLes mailles et noeuds sont numérotés dans CavIF par une méthode continue , qui consiste à compter lesmailles d’abord selon l’axe −→ Oi (indice i), puis selon −→ Oj (indice j) et enfin −→ Ok (indice k). Le numéro d’unemaille correspond au numéro de son noeud situé “ en bas à gauche” . i4 étant le numéro d’une maille, on aalors :i4 = (k − 1)N kp + (j − 1)N xp + i. (5.23)On dit que, dans ce cas, le maillage est structuré.Numérotation localeLes huit sommets d’une maille sont également numérotés localement, avec le noeud inférieur gauche portantle numéro 4 (voir figure 5.5). On repère également pour les calculs de fl ux les six faces de la maille : la facel (left) est la face bornée par les noeuds 4378, la face r (right) par les noeuds 1265, la face f (front) par lesnoeuds 4158, la face d (derrière) par les noeuds 3267, la face t (top) par les noeuds 8567, et enfin la face b(bottom) par les noeuds 4123.Il est important de noter que, comme la face r de la maille i4 est la face l de la maille i4 + 1 (et que lamême analogie peut être faite pour les faces f et b), on utilise généralement pour le calcul des fl ux troisfaces caractéristiques, i.e. les faces l, b et f.5.3.2.2 Volumes de contrôleLa discrétisation utilisée est de type décalé. Les vitesses sont localisées aux noeuds, et les quantitésthermodynamiques sont définies aux centres des mailles. Deux types de volumes de contrôle sont doncutilisés par le code.Volume de contrôle de masseComme nous l’avons vu, les quantités thermodynamiques sont définies aux centres des mailles et sontconstantes dans toute la maille. Donc le calcul du terme ∂ρ∂test effectué au centre de la maille, définissantalors le volume de contrôle comme la maille régulière elle-même.Volume de contrôle de quantité de mouvementLes vitesses étant localisées aux noeuds, le volume de contrôle de quantité de mouvement est décalé. Il
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