Modélisation de l'écoulement diphasique dans les injecteurs Diesel

70CHAPITRE 3 : L’ÉTAT DE L’ART EN MODÉLISATION DIPHASIQUE DESÉCOULEMENTS CAVITANTSAvec H(Φ) fonction de Heaviside, donnée par :⎧⎨ 0 si Φ < 01H(Φ) =⎩2 si Φ = 01 si Φ > 0(3.14)On peut alors écrire l’équation de Navier-Stokes pour les deux fl uides, on obtient alors :ρ(Φ) DuDt= −∇P + ∇.(2µ(φ)D) − σK(Φ)δ(Φ)∇Φ + ρ(Φ)g (3.15)D est le tenseur des taux de déformation. Une présentation de l’implantation numérique de cette méthodeest présentée par Smereka [118]. Unverdi et Tryggvason [131] montrent une utilisation 2D et 3Dde cette méthode sur l’advection de bulles. Cette méthode est difficilement utilisable pour les cas de fortsgradients de masse volumique ou de viscosité entre les deux phases. Une méthode d” ’interface grossie” estmontrée par Smereka [118], dans laquelle on ne considère plus un saut entre les grandeurs caractéristiquesdes deux phases, mais une transition continue.3.1.2.3 Traitement de la tension de surface pour ces deux méthodesLa tension de surface ou tension superficielle σ est “ la résultante des forces de cohésion intermoléculairequi s’exercent au voisinage des interfaces liquide-gaz, liquide-solide ou solide-gaz, perpendiculairementà celles-ci” [61].Le traitement de la force de tension de surface dans ces méthodes est effectué d’une façon classique, enconsidérant la courbure de l’interface qui est présente dans la cellule.Méthode VOF :Level Set :−→ −→ F = σK(c) ∇c−→−→ n = ∇c|∇c| et K(c) = −div−→ n(3.16)−→ F = σK(Φ)δ(Φ)−→ n−→−→ n = ∇Φ|∇Φ| et K(Φ) = −div−→ nOn calcule δ(Φ) comme une régularisation de la masse de Dirac.(3.17)3.1.3 Suivi de bulles "Bubble Tracking"Un de ces modèles, développé par Tomiyama et al. [129], a pour intérêt que les auteurs se sont penchéssur le problème d’échelle de l’écoulement diphasique au regard de l’échelle de résolution en espace descodes numériques. En partant du principe que les modèles existants ne sont valables que pour des échellesde grandeur bien définies, ils ont voulu créer un modèle de “ transition” entre ces types de modèles. En effet,il a été vu que les modèles à deux fl uides ont une longueur caractéristique supérieure à la taille des bulles, etdu coup ne peuvent prendre en compte les modifications à petite échelle du champ de vitesse. Inversement,les méthodes du type capture d’interface (VOF, Level Set) peuvent traiter ces phénomènes, mais ne peuventêtre appliquées à des problèmes de type industriel. Les auteurs citent l’exemple suivant : Si l’on considèreun système {Air + Eau} (voir figure 3.2) consistant en une bulle de 18mm et de plusieurs petites bullesde 2mm de diamètres, un modèle de capture d’interface devra, si l’on veut conserver une bonne précision,considérer une dizaine de mailles de calcul le long du diamètre des petites bulles, soit une taille de celluled’environ 0.2 3 mm. Le nombre total de mailles serait alors supérieur à 12 millions. Ce qui est considérable,au regard des moyens de calcul actuels.Pour cette même application un modèle de suivi de bulle peut résoudre le problème avec une précisionsuffisante pour une taille caractéristique des mailles de 2 3 mm. Soit environ 12000 cellules. Il faut tout demême noter que les modèles de suivi de bulles, jusqu’à maintenant, ne pouvaient traiter le comportement debulles de taille supérieure à la taille de la cellule de calcul [119]. La méthode que propose Tomiyama ici tente