Modélisation de l'écoulement diphasique dans les injecteurs Diesel

CHAPITRE 5 : ÉLABORATION DU CODE CAVIF 103– ∀ˆΦ i,j /∈ [0, 1[, ˆΦ i+ 12 ,j = f– f(0) = 0, et f(1) = 1.(ˆΦi,j)= ˆΦ i,j ;Nous allons voir maintenant comment le schéma ISNAS a été construit, en suivant les critères définis précédemment.L’idée est de dériver un polynôme du troisième ordre qui passe par les points (0, 0), (1, 1) et( 1 2 , 3 4 ), et ayant une pente de 3 4 au point ( 1 2 , 3 4). On trouve le polynôme suivant :ˆΦ i+ 12 ,j =ˆΦ i+ 12 ,j = ˆΦ 3 i,j − 5 2 ˆΦ 2 i,j + 5 2 ˆΦ i,j . (5.9)De ce fait, la caractéristique NV qui satisfait les critères précédents est :⎧⎨⎩ˆΦ i+ 12 ,j = ˆΦ i,j + 1 2ˆΦ i,j pour ˆΦ i,j < 0,ˆΦ 3 i,j − 5 2 ˆΦ 2 i,j + 5 2 ˆΦ i,j pour 0 ˆΦ i,j 1,ˆΦ i,j pour ˆΦ i,j > 1.Le schéma limiteur de fl ux est dérivé comme suit. L’équation 5.9 est réécrite sous la forme :(3ˆΦ i,j − 2ˆΦ 2 i,jEn termes de variables “ non normalisées” , cette équation s’écrit simplement :(5.10)) (1 − ˆΦ i,j). (5.11)Φ i+ 12 ,j = Φ i,j + 1 2 Ψ(r i+ 1 2 ,j ) (Φ i+1,j − Φ i,j ) , (5.12)où Ψ est un limiteur de fl ux qui doit être dérivé et l’argument du limiteur r i+ 12 ,j est le rapport de deuxgradients de solution consécutifs défini par :r i+ 12 ,j = Φ i,j − Φ i−1,jΦ i+1,j − Φ i,j. (5.13)À partir de l’équation 5.5, ce rapport peut être exprimé en termes de variables normalisées par :Des équations 5.11 et 5.14, on déduit le limiteur de fl ux :5.2.2 Le schéma QSOUr i+ 12 ,j = ˆΦ i,j1 − ˆΦ i,j. (5.14)Ψ(r) = r2 + 3r, pour r 0. (5.15)(1 + r)2Ce schéma a été mis en place afin d’assurer la monotonicité du calcul dans le code KIVA [3]. Il auraitpu être appelé “ méthode du gradient minimal” , car si Φ i est compris entre Φ i−1 et Φ i+1 , alors la pente estcalculée telle que :∂Φ∂x | i= sign (Φ i − Φ i−1 )min (| Φ i − Φ i−1 |, | Φ i−1 − Φ i |) . (5.16)∆xDe plus, si Φ i n’est pas compris entre Φ i−1 et Φ i+1 , alors la pente est fixée à 0.On peut résumer le schéma QSOU pour un cas monodimensionnel avec des tailles de cellules variables.En posant ∆x i = x i+1 −x i et ∆Φ i = Φ i+1 −Φ i pour des raisons de simplicité, on peut exprimer les pentesdans chaque cellule par :∂Φ∂x | i={sign (∆Φ i ) min0 sinon.Ainsi la valeur de Φ i+ 1 est donnée par :2Φ i+ 12 = ⎧⎨⎩(|∆Φi|∆x iΦ i + ∂Φ∂x | i (x i+ 12 − x i)), |∆Φi−1|∆x i−1, si ∆Φ i ∆Φ i−1 > 0,( )1 − δ VaV isi δ V a > 0,( )Φ i+1 − ∂Φ∂x | i (x i+1 − x i+ 1 ) 1 + δ Va2 V i+ 1sinon.(5.17)(5.18)