Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

Annexe ADérivation de la densité de force surla membrane à partir de l’expressionde son énergieNous établissons dans cette annexe l’expression des densités volumiques de forces’exerçant sur la membrane, soit du fait de sa courbure (f bend ), soit du fait de la tensionnécessaire pour limiter la variation de son aire (f tens ). La contribution de ces forces aubilan d’énergie du système complet vaut − ∫ Ω (f bend +f tens ).udV, le signe moins venant dufait que f bend et f tens apparaissent comme des forces extérieures dans le bilan de quantitéde mouvement.A.0.1Force de courbureLa dérivée temporelle de l’énergie de courbure vaut :∫dE bend= − f bend .udVdtΩ(A.1)où Ωdésigne le domaine fluide total. Dans le chapitre 1, nous avons vu que l’énergiede courbure de la membrane complète s’écrit :E bend = κ 2∮(H − c 0 ) 2 dA + κ G∮KdA(A.2)où H est la courbure moyenne, K la courbure totale, κ et κ G les modules de rigiditécorrespondants et c 0 la courbure spontanée qui reflète une possible asymétrie des coucheslipidiques (=0 dans notre cas). Puisque dans ce travail les cellules ne changent pas detopologie, nous considèrerons que le second terme de (A.2) est nul.Dans la dérivation qui suit, on considère que la membrane a une épaisseur finie quoiquefaible. On adopte un point de vue eulérien où les faces supérieures et inférieures de lamembrane sont définies par les courbes de niveau φ + =1etφ − = 0. La fonction de niveauφ est un indicateur de phase qui prend la valeur 1 dans une phase et 0 dans l’autre(fig.A.1). Comme φ est constante à l’extérieur de l’intervalle [φ − ,φ + ], ∇φ est différent dezéro uniquement à l’intérieur de la membrane. On peut donc définir la “fonction de Dirac”étalée δ I = |∇φ| comme étant l’indicatrice de la membrane. De ce fait, le passage de123