Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

2. Etat de l’art numérique2.1 Approches numériques pour les écoulements diphasiquesDeux grandes classes d’approches existent pour simuler numériquement des écoulementsdiphasiques. D’une part, les méthodes lagrangiennes permettent de suivre les déformationsde l’interface en construisant un maillage qui s’y adapte en permanence. L’interface estdonc confondue avec le maillage, ce qui permet de la décrire de manière très précise,en y imposant directement les conditions limites. En contrepartie, le maillage doit êtreredéfini à chaque pas de temps, ce qui augmente le temps de calcul. De plus, ces méthodessont limitées dès que l’interface se rompt ou que des gouttes coalescent.La seconde classe d’approches permettant de simuler des écoulements diphasiques sontles méthodes eulériennes. Le maillage est alors fixe, et l’interface peut se déformer sanssuivre les lignes de maillage. Ces méthodes, plus simples à implémenter et plus économesen temps de calcul ne garantissent cependant pas rigoureusement la conservation de lamasse. De plus, la connaissance précise de la position de l’interface dépend du raffinementdu maillage.Les deux approches sont illustrées dans la figure 2.1 et nous présenterons dans la suitequelques méthodes numériques utilisées pour le suivi d’interfaces.2.1.1 Méthode des intégrales de frontière (Boundary Integralmethod)Dans cette approche, des marqueurs lagrangiens mobiles placés sur l’interface permettentde décrire son évolution. Une simple interpolation entre les marqueurs permetde détailler la forme générale de l’interface. Il s’agit ensuite de résoudre une équationdu second ordre pour connaître la vitesse de ces marqueurs, et ainsi déduire leursdéplacements. La position des marqueurs (et donc de l’interface) est alors connue aupas de temps suivant.La relation entre les marqueurs peut être complexifiée permettant ainsi de considérerune tension isotrope sur l’interface, d’ajouter des effets visqueux à l’interface, ou encorede considérer une interface incompressible. Il est également possible d’ajouter des effetsélastiques à l’interface ; cette adaptation de la méthode intégrale fera l’objet d’un paragraphedans la section suivante.Si l’on considère un point x 0 de l’interface, sa vitesse peut être déterminée à l’aide dedeux fonctions de Green, en résolvant l’équation suivante (Pozrikidis (2001)) :(a)(b)Fig. 2.1 - Exemple de maillages (a) lagrangien et (b) eulérien.26