Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

2. Etat de l’art numériqueLes trois équations sont résolues successivement en prenant comme condition initiale lasolution de l’équation précédente. Afin de ne privilégier aucune direction, l’ordre desétapes est modifié à chaque pas de temps. La discrétisation en temps et en espace del’équation (2.22) se fait de la manière suivante :C n+1i− CinΔt+ (CU)n i+1/2 − (CU)n i−1/2Δx= C n iU n i+1/2 − U n i−1/2Δx(2.25)C’est le calcul des flux F = CU qui détermine le caractère dissipatif ou dispersifdu schéma. Les schémas correcteurs de flux consistent à calculer F en utilisant unesomme de deux flux. Le premier, d’ordre faible rend le schéma dissipatif, mais stable ;l’autre, d’ordre élevé, le rend dispersif mais précis. En imposant au schéma de satisfaireles conditions de monotonicité et de positivité, on détermine les valeurs optimales descoefficients de diffusion et d’antidiffusion affectés aux deux flux. Pour plus de détails surcette méthode, le lecteur peut se référer à Benkenida (1999).Résumé delaméthode :On connaît V n , P n et C n .On résout l’équation de transport du taux de présence : on obtient C n+1 .On calcule les propriétés du fluide unique : on obtient μ n+1 et ρ n+1 .On calcule les grandeurs intermédiaires : on obtient μ n+1/2 =(μ n + μ n+1 )/2, ρ n+1/2 =(ρ n + ρ n+1 )/2 etC n+1/2 =(C n + C n+1 )/2.On détermine la partie rotationnelle de la vitesse en calculant les différents termes impliquésdans l’équation de Navier-Stokes avec les grandeurs précédentes : on obtientˆV n+1 .On résout l’équation de Poisson de façon à satisfaire l’incompressibilité en tout point :on obtient V n+1 et P n+1/2 .34