Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

2. Etat de l’art numériqueρ DVDt = ∇·[μ(φ)(∇V + ∇VT )] −∇P + f (2.11)DφDt = −V ·∇φ + ɛ φ[− δFδφ + Hɛ2 |∇φ|] (2.12)DζDt = −V ·∇ζ + T ∇ s · V (2.13)où F désigne l’énergie libre du système : F = ∫ [ 1(1 − 4 φ)2 + ɛ2 2 |∇φ|2 ]ds. La normaleà l’interface n est définie par n = ∇φ et H = −∇ · n désigne la courbure moyenne ;|∇φ|μ(φ) =μ 0 (1 + φ)/2 +μ 1 (1 − φ)/2 est la viscosité du fluide, qui dépend de la positionet varie entre μ 0 dans une phase et μ 1 dans l’autre. Dans (2.13) T est un paramètre depénalisation qui permet de maintenir l’incompressibilité de la membrane s’il est choisisuffisamment grand. Par extension de (2.5), la densité volumique de force appliquée àlamembrane est choisie de la forme :f =[−κ( d2 Hds 2+ H3dζ])n + ζHn +2 ds t δ interface (2.14)Le terme δ interface = |∇φ|/2 est une fonction de Dirac diffuse, centrée sur la membranequi permet de localiser l’action f sur celle-ci.2.3 Le code JadimJADIM est un code de simulation développé à l’Institut de Mécanique des Fluidesde Toulouse permettant la résolution tridimensionnelle des équations de Navier-Stokes,instationnaires et incompressibles en coordonnées curvilignes orthogonales. A ce noyaucentral, viennent se greffer différents modules : la simulation des grandes échelles dela turbulence (Calmet (1995)), le suivi lagrangien de particules (Climent (1996)), letransport d’un scalaire (Legendre (1996)), les interactions fluide/structure par méthodede frontières immergées et le suivi d’interfaces mobiles (Benkenida (1999)). Nous neprésenterons ici que ce dernier module. L’approche choisie pour le suivi d’interfaces mobilespermet de simuler des écoulements diphasiques à l’aide d’une méthode Volume ofFluid sans reconstruction d’interface.Les équations de Navier-Stokes sont résolues en ne considérant qu’un seul fluide équivalent,incompressible, dont les propriétés physiques (masse volumique et viscosité) varient àlatraversée de l’interface. Le fluide unique a donc pour masse volumique ρ = Cρ 1 +(1−C)ρ 2et pour viscosité μ = Cμ 1 +(1− C)μ 2 . C représente un taux de présence local de laphase 1, valant 1 dans les cellules où seule la phase 1 est présente, 0 dans celles ne contenantque la phase 2 et prenant des valeurs intermédiaires dans les cellules traversées parl’interface. Le taux de présence est régi par une équation de transport purement hyperbolique(eq. 2.17). Le système complet s’écrit :31