Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

3. Noyaux, effets visco-élastiques, membranes : les solutions numériques adoptées3.1 Méthode de frontière immergéeLes neutrophiles possèdent un noyau déformable et polylobé en leur centre dont levolume représente environ 20% de celui de la cellule. Bien qu’il soit déformable, sesdéformations sont très lentes et il serait trop contraignant d’un point de vue numériquede les prendre en compte. Nous choisissons donc de représenter le noyau par un solide nondéformableà l’aide d’une méthode de frontière immergée similaire à celle proposée parYuki et al. (2007) et Takeuchi et al. (2010). L’idée maîtresse de cette famille de méthodesest d’utiliser des maillages qui ne suivent pas l’interface fluide-solide (maillage cartésienpar exemple) mais d’appliquer aux équations du fluide une distribution appropriée dequantité de mouvement autour de cette interface afin d’y satisfaire la condition à la limitesouhaitée (non-glissement par exemple). Dans l’approche utilisée ici, la force entre lefluide et le solide est directement déterminée à partir d’une fraction volumique de solide.Cette approche diffère un peu de la proposition de Peskin (1972). En effet, ce dernierutilise un maillage cartésien combiné avec une approche lagrangienne pour représenterla surface du solide, surface qui n’a donc aucune épaisseur. Une interpolation entre lesdonnées lagrangiennes et eulériennes permet ensuite d’ajuster les propriétés des phasessolides et fluides à la surface. Dans l’approche utilisée ici, la force entre le fluide et lesolide est déterminée à partir d’une fraction volumique de solide.3.1.1 Equations du modèleUne force f p est ajoutée aux équations de Navier Sokes pour décrire l’action du solidesur le fluide. On écrit donc :∂ρV∂t∇.V = 0 (3.1)+ ∇.(ρVV) = −∇P + ∇.(μD)+ρf p (3.2)où D = ∇V+∇V t désigne le tenseur des taux de déformation. En introduisant la notionde fraction volumique α pour le solide présent dans une maille de calcul, on définit unevitesse pondérée V =(1−α)V f +αV p où V p désigne la vitesse du solide et V f la vitessequ’aurait le fluide en l’absence du solide. On peut alors définir la force particulaire f pnécessaire pour assurer la condition de non-glissement à l’interface fluide-solide sous laforme :f p = α(V p − V f )Δt(3.3)La détermination de la fraction de solide α joue un rôle central dans ce type deméthode. Cette fraction de solide est calculée ici en chaque point de pression du maillage,en postulant un profil en forme de tangente hyperbolique :α = 1 2 (1 − tanh( d i))σλd(3.4)où σ =0.05(1 − λ 2 )+0.3 (3.5)et λ = |n x | + |n y | + |n z |, (3.6)d i désignant la distance séparant l’interface du centre de la maille, d la dimension caractéristiquede la maille et n le vecteur normal à l’interface. Dans (3.6), λ 2 est de l’ordre36