Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

A. Dérivation de la densité de force sur la membrane à partir de l’expression de son énergiela formulation surfacique à une formulation volumique s’opère en écrivant dA = |∇φ|dV,ce qui permet de réécrire (A.2) sous la forme :E = κ ∫H 2 |∇φ|dV2Ω(A.3)∇φ|∇φ| ,etlaLa fonction de niveau φ permet de calculer la normale à l’interface n =courbure H est elle-même calculée à partir de n par H = −∇.n. La variation temporellede l’énergie (A.3) vaut alors :dE bend= κ ∫dH 2 |∇φ|dVdt 2 dt Ω= κ ∫)(2HH ,t |∇φ| + H 2 |∇φ| ,t dV(A.4)2• D’une part,Ω|∇φ| =(∇φ.∇φ) 2 , de sorte que |∇φ| ,t = ∇φ|∇φ| .(∇φ) ,t = −n.∇(u.∇φ)et H 2 |∇φ| ,t = H 2 ∇φ|∇φ| .∇φ ,t = −H 2 n.∇(u.∇φ)(A.5)car la fonction de niveau obéit àl’équation φ ,t + u.∇φ =0.• D’autre part,H ,t = −(∇.n) ,t= −[∇.( ∇φ|∇φ| )] ,t)= −∇.(|∇φ| −1 ∇φ ,t + ∇φ(|∇φ| −1 ) ,tavec (|∇φ| −1 ) ,t = − 1|∇φ| 2 |∇φ| ,t = − ∇φ|∇φ| 3 .(∇φ) ,t =∇φ|∇φ| 3 .∇(u.∇φ)On a donc)H ,t = −∇.(|∇φ| −1 ∇φ ,t −∇φ∇φ.∇φ ,t |∇φ| −3 )= ∇.(|∇φ| −1 ∇(u.∇φ) −∇φ∇φ.∇(u.∇φ)|∇φ| −3()= ∇. ∇(u.n) − (u.∇φ)∇(|∇φ| −1 ) − nn.∇(u.n)+(u.∇φ)nn.∇(|∇φ| −1 )()= ∇. ∇(u.n) − (u.n)|∇φ|∇ s (|∇φ| −1 ) − nn.∇(u.n)où l’on a introduit le gradient surfacique ∇ s =(I − nn).∇, I désignant le tenseur unité.En utilisant le résultat|∇φ|∇ s (|∇φ| −1 )=−n.∇n(A.6)124