Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

2. Etat de l’art numériqueavecf(x, t) =∫ L0F(s, t)δ(x − X(s, t))ds (2.8)En changeant de représentation, la position x d’un marqueur au temps t peut égalements’écrire x = X(s,t)où s désigne le système de coordonnées lagrangiennes curviligness i =(s 1 ,s 2 ,s 3 ) repérant le marqueur X sur la membrane. Par exemple les contraintesélastiques répondant à la loi de Hooke sont introduites sur les marqueurs lagrangiensde l’interface au moyen de la densité de force F = ∂ ∂X(Tτ)avecT = E(| |), où E∂s ∂sreprésente le module d’Young, τ désigne le vecteur unitaire tangent dans la direction idéfini par τ = ∂X/∂s i. |∂X/∂s i |Afin de fermer le système, il est nécessaire d’ajouter la condition de non-glissementà l’interface :avec∂X(s,t)∂t∫u(X(s,t),t)== u(X(s,t),t) (2.9)u(x,t)δ(x − X(s,t))dx (2.10)ce qui permet d’interpoler les vitesses calculées sur les marqueurs lagrangiens afin d’endéduire leurs nouvelles positions.Cette méthode qui combine descriptions eulérienne et lagrangienne permet donc d’effectuerdes calculs sur un maillage très simple, tout en localisant de manière précisel’interface à l’aide de marqueurs.2.2.3 Méthode de champ de phaseCette méthode est basée sur l’introduction d’un champ auxiliaire (le champ de phasenoté φ) qui vaut 1 ou -1 dans chacune des deux phases, et varie de manière continueà la traversée de la région d’interface dont l’épaisseur est finie. φ peut être vu commeune fonction couleur qui délimite l’intérieur et l’extérieur de la vésicule et adopte unprofil de tangente hyperbolique tanh(r/ɛ) à l’interface, r désignant la position locale etɛ l’épaisseur de la région d’interface (ou ici de membrane). Il faut alors extrapoler lesrésultats pour atteindre la limite d’une interface infiniment mince (ɛ → 0). Cette extrapolationn’est pas triviale dans la mesure où laréponse du système dépend souvent del’épaisseur de la membrane.Biben & Misbah (2002) ont été les premiers à appliquer cette méthode à des vésicules.Ils ont pour cela écrit les équations de ce modèle dans le régime de Stokes mais ellespeuvent aisément être adaptées au régime inertiel. L’équation de Stokes est couplée àl’équation de transport de la fonction couleur φ résolue dans tout le domaine. De plus,la densité de force agissant sur la membrane est aussi définie dans tout le domaine decalcul. On écrit donc :30