Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

2. Etat de l’art numérique∇.V = 0 (2.15)∂ρV+ ∇.(ρVV)∂t= ρg −∇P + ∇.(μD)+f c (2.16)∂C+ V.∇C∂t= 0 (2.17)où f c désigne la densité de force agissant sur les interfaces (force capillaire) et g la densitéde force extérieure (gravité par exemple).2.3.1 Résolution numériqueNous n’effectuerons qu’une présentation succincte des méthodes de résolution utiliséesdans le code JADIM. Pour plus de détail, nous invitons le lecteur à se reporter auxtravaux de Calmet (1995), Benkenida (1999) et Bonometti (2005).Discrétisation spatiale. Les équations de Navier-Stokes (2.15 et 2.16), et l’équationde transport (2.17) sont discrétisées sur des maillages décalés. Ce type de maillage permetde calculer de manière précise les flux sur les facettes des volumes d’intégration, etde faciliter le couplage vitesse/pression. La figure 2.3 décrit le maillage dans le cas bidimensionnel.A chaque composante de vitesse correspond un volume de contrôle différentsur lequel sera intégrée la variable correspondante. De même, un volume de contrôle pourla pression et le taux de présence, centrés en P, permet l’intégration de ces variables.Discrétisation temporelle. La résolution temporelle des équations est détaillée parCalmet (1995). L’avancement en temps des équations de Navier-Stokes est réalisé par unschéma de Runge-Kutta d’ordre 3 pour les termes d’advection et les termes sources etun schéma semi-implicite de Crank-Nicolson pour les termes visqueux. Une méthode deprojection permet de satisfaire la condition d’incompressibilité à chaque pas de temps.En effet, le champ de vitesse prédicteur obtenu ne vérifie pas la condition de divergencenulle ; il faut pour cela adapter la pression en résolvant une pseudo-équation de Poisson.Prise en compte du terme capillaire. Le terme capillaire f c = −σ(∇.n)nδ I estapproché par le modèle Continuum Surface Force (CSF) introduit par Brackbill et al.(1992) pour un mélange diphasique. Ce modèle permet de représenter la force capillairesous forme d’une contribution volumique. En notant que la normale à l’interface peut êtredéfinie par n = ∇C et que δ|∇C| I = |∇C| est une fonction de Dirac centrée sur l’interface,la force capillaire s’écrit donc :f c = −σ∇.( ∇C )∇C (2.18)|∇C|L’intégration sur un volume de contrôle du terme capillaire f c se fait via l’application duthéorème de la divergence sous la forme :∫∫f c dV = σ∇C (∇C/|∇C|)n cell dΓ (2.19)VΓ32