Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

2.2 Prise en compte d’une membrane2.2.1 Méthode intégrale de frontière2. Etat de l’art numériqueGhigliotti et al. (2010) et Boedec et al. (2011) ont utilisé laméthode des intégralesde frontière pour modéliser le comportement des vésicules (et plus particulièrement desglobules rouges). Il suffit pour cela d’introduire une forme convenable de la densité deforce interfaciale f (eq. (2.1)) prenant en compte les caractéristiques mécaniques de lamembrane. Parmi celles-ci, les deux plus importantes sont la tension surfacique (quis’oppose à l’augmentation de l’aire) et la résistance à la flexion. On peut alors parexemple définir l’énergie de surface de la membrane par la somme des contributions detension et de courbure ce qui dans le cas bidimensionnel conduit à:E = κ ∫ ∫H 2 ds + ζds (2.4)2où κ est le module de résistance à la flexion, H la courbure moyenne et ζ la tension surfacique.On montre dans l’annexe A que cette dérivation conduit à une densité volumiquede force telle que :f = −κ( d2 Hds 2+ H3dζ)n + ζHn +2 ds t (2.5)où n et t sont respectivement les vecteurs unitaires normaux et tangents à l’interface.Pour des raisons de simplicité d’implémentation numérique, on peut aussi exprimer lesecond terme uniquement en fonction des vecteurs tangents à l’interface sous la forme :f = −κ( d2 Hds 2+ H32 )n + T [(l l − l l0 )τ l +(l r − l r0 )τ r ] (2.6)Où l l et l r sont les distances entre un marqueur de l’interface et ses voisins de gauche etde droite, et l l0 et l r0 sont les distances initiales entre un marqueur et ses voisins. τ l et τ rsont les vecteurs partants du marqueur et pointant vers ses voisins correspondants. Leparamètre T assure la conservation de l’aire de la membrane s’il est suffisamment grand.2.2.2 Méthode de frontière immergée ou d’interface immergéeLa méthode des frontières immergées a originellement été introduite par Peskin (1972)pour étudier les écoulements sanguins autour des valves déformables du coeur et a depuisété très utilisée, en particulier pour des problèmes de biophysique faisant intervenir desobjets déformables et mobiles (voir en particulier Peskin (2002)).La membrane flexible est repérée à l’aide de marqueurs lagrangiens, alors que leséquations de Navier-Stokes sont résolues sur un maillage cartésien. Le caractère élastiquede la membrane est introduit via une force f localisée sur les marqueurs et nulle partoutailleurs. On écrit donc :ρ DVDt = ∇·[μ(∇V + ∇VT )] −∇P + f(x,t) (2.7)29