Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

2. Etat de l’art numériqueavecV(x 0 )= 2∮11+λ V∞ (x 0 )+G(x − x 0 ) · f(x)dl(x)2πμ 0 (1 + λ) Γ∮2(1 − λ)+ V(x) · T(x − x 0 ) · n(x)dl(x)π(1 + λ)Γ(2.1)G ij (x − x 0 )=−δ ij ln |x − x 0 | + (x − x 0) i (x − x 0 ) j|x − x 0 | 2 (2.2)T ij (x − x 0 )=−4 (x − x 0) i (x − x 0 ) j (x − x 0 ) k|x − x 0 | 4 (2.3)G et T sont les fonctions de Green du problème, V ∞ est la vitesse non perturbée par laprésence de l’interface, Γ est le contour (fermé) de l’interface, et f est la force interfaciale.Pour une interface fermée, et si le rapport de viscosités λ entre l’intérieur et l’extérieurde la vésicule vaut 1, une solution unique à cette équation existe.Le principal inconvénient de cette méthode est qu’elle ne peut être utilisée que pourrésoudre des problèmes linéaires. Seules les équations de Stokes correspondant à dessystèmes sans inertie sont abordables avec cette méthode. Cette approche, relativementsimple à implémenter est très utilisée pour étudier les déformations des cellules dans lesécoulements sanguins à faible nombre de Reynolds.2.1.2 Méthode de suivi de front (Front Tracking)La méthode de suivi de front, introduite par Unverdi & Tryggvason (1992), permetde suivre explicitement les déformations de l’interface en utilisant des marqueurs situéssur cette dernière. L’ensemble des marqueurs, reliés entre eux de manière fictive, constitueun maillage mobile qui vient se superposer au maillage eulérien fixe. Une équationd’évolution est résolue à chaque pas de temps pour donner la position des marqueurs. Laposition et l’orientation de l’interface sont connues précisément et les contributions capillairessont donc évaluées avec précision. Toute la difficulté de ces méthodes réside dans lagestion de la distribution des marqueurs. En effet, ceux-ci risquent de s’accumuler dansune région de l’interface au détriment d’autres zones. De plus, ces méthodes partagentavec les approches lagrangiennes des problèmes rencontrés lors de la coalescence ou dela rupture d’interfaces. Leur utilisation se limite donc souvent à des écoulements où lesinterfaces sont peu déformées.2.1.3 Méthode marker and cell (MAC)Cette méthode, développée par Harlow & Welch (1965) permet de traiter des problèmesde surface libre, en faisant également intervenir des marqueurs. Cette fois, plutôt qued’être situés simplement sur l’interface pour représenter directement ses déformations,les marqueurs sont disposés à l’intérieur d’une des deux phases fluides. Afin d’obtenirune bonne représentation de la position de l’interface, il est nécessaire d’introduire ungrand nombre de marqueurs. Cette méthode est donc coûteuse en terme de temps decalcul et de mémoire utilisée car il faut connaître à chaque instant la position de tousles marqueurs.27