Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

3. Noyaux, effets visco-élastiques, membranes : les solutions numériques adoptéesl’utiliser dans la simulation numérique des neutrophiles, nous présenterons la validationdu modèle implémenté dans des cas simples.3.2.1 Equations du modèleL’équation constitutive d’un fluide de Maxwell ne permettant de décrire le comportementdes polymères que pour de très petites déformations, Oldroyd (1950) a définiun modèle valide pour toutes les déformations. Pour cela, il définit un système de coordonnéesqui est convecté par le polymère. Soit P un élément de polymère qui se trouveen x i à un instant t, cet élément se trouvera encore en x i à l’intant t ′ .Ladérivée temporelleest alors remplacée par l’opérateur de dérivation convective (3.12) ce qui revientàdériver les équations écrites dans un système de coordonnées qui se déforme avec lefluide (Bird et al. (1977)).Les effets élastiques sont introduits dans les équations de Navier Stokes (3.9 et 3.10) viaun tenseur des contraintes suplémentaire T de sorte que :∂ρV∂t∇.V = 0 (3.9)+ ∇.(ρVV) = −∇P + ∇.(μ s D + T) (3.10)où D = ∇V + ∇V t est le tenseur de déformations newtoniennes et T est le tenseur dit“polymérique” qui obéit àl’équation constitutive :T + λ ∇ T = μ p D (3.11)Les effets élastiques du fluide sont décrits par le temps de relaxation λ et la viscositépolymérique μ p . L’opérateur de dérivée convective supérieure s’écrit de la manière suivante:∇T= DTDt − (∇V)t .T − T.∇V (3.12)La résolution de l’équation constitutive étant connue pour être peu stable, nous utilisonsune décomposition EVSS (Elastic Viscous Split Stress) élaborée par Rajagopalanet al. (1990). Le tenseur polymérique T est alors séparé en une contribution visqueuseμ p D et une contribution élastique E sous la forme :T = E + μ p D (3.13)C’est l’équation constitutive sur le tenseur élastique E qui est finalement résolue enappliquant le changement de variable (3.13) :E + λ ∇ E = −μ p λ ∇ D (3.14)La discrétisation spatiale et temporelle des équations est détaillée dans l’annexe B.3.2.2 Nombres adimensionnelsUne caractéristique notable des polymères réside dans l’existence d’une échelle detemps observable. Les fluides newtoniens ne possèdent qu’une échelle de temps extrêmement39