Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

3. Noyaux, effets visco-élastiques, membranes : les solutions numériques adoptéescourte associée aux mouvements de leurs molécules. Les polymères, en plus de cetteéchelle, possèdent une échelle temporelle associée aux mouvements des fibres qui les composent,pouvant aller de la micro-seconde à la minute (fig. 3.3). Ce temps caractéristique,associé aux changements de la micro-structure est appelé temps de relaxation et noté λ.Le temps de relaxation peut être comparé avec le temps caractéristique de l’écoulement,conduisant àladéfinition de deux nombres adimensionnels :– Le nombre de Weissenberg, Wi = λ ˙γ compare le temps de relaxation du polymèreau taux de cisaillement local ˙γ. Ce nombre est principalement utilisé dans lesécoulements d’étirement ou de cisaillement purs. Etant donné que dans la majoritédes écoulements le taux de cisaillement n’est pas constant, un autre nombreadimensionnel appelé nombre de Deborah est généralement utilisé.– Le nombre de Deborah, De = λ t c,où t c = L/U désigne le temps caractéristique del’écoulement. Si De ≪ 1, le polymère relaxe en beaucoup moins de temps qu’il nelui en faut pour traverser la distance caractéristique L. Il n’a pas de mémoire deson état à t − t c . En revanche, pour De = O(1), le polymère relaxe plus lentement,et son état à un instant t peut être influencé par son état à t − t c car sa viscositépeut avoir été modifiée dans l’intervalle.Avec une telle définition, le nombre de Deborah est nul pour les déformations homogèneset tout particulièrement pour les situations stationnaires. Dans ce cas, l’utilisationde Wi qui prend en compte le taux de cisaillement, est plus appropriée (Dealy &Larson (2006)).3.2.3 Validation du modèleEcoulement de PoiseuilleL’écoulement de Poiseuille bidimensionnel d’un fluide d’Oldroyd possède une solutionanalytique qui nous permet de vérifier la cohérence de l’implémentation du modèle. Eneffet, dans un écoulement de Poiseuille 2D se propageant dans la direction e 1 , T 11 =2λμ p ( ∂V 1∂x 2) 2 et T 12 = μ p ( ∂V 1∂x 2).Configuration étudiée. Nous considérons un écoulement de Poiseuille dans un canalbidimensionnel de longueur 10H et de demi-largeur H. Une condition de symétrie estappliquée sur la paroi sud, et des conditions périodiques sont appliquées sur les parois est(a)(b)Fig. 3.3 - (a) Fibre de polymère dans son état relaxé, (b) fibre de polymère étirée.40