Simulation numérique du mouvement et de la déformation des ...

A. Dérivation de la densité de force sur la membrane à partir de l’expression de son énergiedémontré plus bas, on a ensuite :()H ,t = ∇. ∇(u.n)+(u.n)n.∇n − nn.∇(u.n)= Δ(u.n)+∇.((u.n)n.∇n) −∇.(nn).∇(u.n) − nn : ∇∇(u.n)= Δ s (u.n)+∇.((u.n)n.∇n) − (n.∇n).∇(u.n)= Δ s (u.n)+(u.n)∇.(n.∇n)où Δ s = ∇ s .∇ s =Δ− (∇.n)n.∇−nn : ∇∇ désigne le laplacien surfacique, appelé aussiopérateur de Laplace-Beltrami.Finalement on obtient donc :H ,t = Δ s (u.n)+(u.n)n.∇(∇.n)+(u.n)∇n : ∇n= Δ s (u.n) − (u.n)n.∇H +(u.n)(H 2 − 2K) (A.7)En effet, si l’on note k 1 et k 2 les deux courbures principales, qui sont aussi les deuxcomposantes diagonales de ∇n, ona∇n : ∇n = k1 2 + k2 2 =(k 1 + k 2 ) 2 − 2k 1 k 2 = H 2 − 2KEn injectant (A.5) et (A.7) dans (A.4), on obtient :dE benddt= κ ∫ [ ()2H Δ s (u.n) − (u.n)n.∇H +(u.n)(H 2 − 2K) |∇φ|2 Ω()]− H 2 n.∇(u.∇φ) dV(A.8)En intégrant par partie le dernier terme de (A.8), et en notant que u=0 au bord deΩ, il vient :∫− H 2 n.∇(u.∇φ)dV =ΩEn injectant (A.9) dans (A.8), on obtient :dE bend= κ ∫2HΔ s (u.n)|∇φ|dV + κ ∫dt 2 Ω 2La première intégrale peut s’intégrer par parties :∫∮HΔ s (u.n)|∇φ|dV = HΔ s (u.n)dSΩ∮ [ )= ∇ s .(H∇ s (u.n)∮ [ )= ∇ s .(∇ s H(u.n)∮= Δ s H(u.n)dS∫= Δ s H(u.n)|∇φ|dV==Ω∫∫∫ΩΩΩ( )∇. H 2 n u.∇φdV()n.∇H 2 + H 2 ∇.n (u.n)|∇φ|dV)H(2n.∇H − H 2 (u.n)|∇φ|dVΩ(u.n)H(H 2 − 4K)|∇φ|dV]−∇ s H.∇ s (u.n) dS]−∇ s H.∇ s (u.n) dS(A.9)(A.10)125