DISPENSE DEL CORSO DI LABORATORIO DI CHIMICA – FISICA 1

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al valore previsto dalla probabilità teorica. Tale caratteristica è detta talvolta Legge dei grandi numeri, proprio perché necessitano un gran numero di misure affinché il valore della probabilità a posteriori e a priori coincidano. P 0.20 0.15 0.10 0.05 0 2 4 6 8 10 12 Figura 78. Probabilità teorica delle uscite nel lancio di due dadi. Consideriamo adesso un esempio che viene talvolta indicato come il “cammino dell’ubriaco”. Supponiamo in pratica che un ubriaco esca da un bar e, dato il suo stato, inizi a camminare muovendo una serie di passi ciascuno dei quali può essere o verso destra o verso sinistra in modo del tutto casuale. Per ogni singolo passo la probabilità teorica che questo sia verso destra (o analogamente verso sinistra) è pari a 12 cioè è pari al numero di eventi favorevoli (passo a destra) diviso il numero di eventi possibili (passo a destra o passo a sinistra). Dopo un certo numero n di passi, supponiamo 4, l’ubriaco potrà dunque trovarsi o quattro passi a destra oppure 2 passi a destra, oppure nella posizione di partenza, oppure 2 passi a sinistra, oppure infine 4 passi a sinistra. Se ad esempio assumiamo verso positivo per il movimento verso destra, potremo dire che l’ubriaco dopo 4 passi potrà trovarsi in corrispondenza di una delle coordinate +4, +2, 0, -2, -4, oppure su un asse avente solo verso positivo, potremo individuare la posizione riportando come coordinata il solo numero di passi compiuti a destra (0, 1, 2, 3, 4). Ciascuna di queste eventualità sarà la combinazione di diverse possibili sequenze di passi verso destra o verso sinistra e la probabilità associata sarà sempre data dal prodotto delle probabilità di ogni singolo evento (passo a destra o passo a sinistra) per il numero di modi di realizzare una certa combinazione di eventi. Le possibili combinazione e le relative probabilità per il 132
caso n = 4 sono riportate nella tabella seguente. Pos. dopo n passi Passi a destra Possibili sequenze di passi Complessione Probabilità teorica -4 0 SSSS 1 116 -2 1 SSSD, SSDS, SDSS, DSSS 4 14 0 2 SSDD, SDSD, SDDS, DSDS, DDSS, DSSD 6 38 2 3 DDDS, DDSD, DSDD, SDDD 4 14 4 4 DDDD 1 116 In pratica ogni sequenza ha probabilità 116 essendo il prodotto della probabilità di ogni singolo evento che è 12. Tale probabilità va moltiplicata per il numero di modi in cui può essere realizzata: così ad esempio la posizione +2 può essere raggiunta o con 3 passi consecutivi a destra e 1 a sinistra, o con 2 passi a destra, 1 a sinistra e 1 di nuovo a destra, o con 1 passo a destra, 1 a sinistra e 2 a destra, o, infine con 1 passo a sinistra e 3 consecutivi a destra. Il numero di modi di realizzare una sequenza, detto anche complessione di quella certa sequenza, può essere calcolato mediante un semplice calcolo combinatoriale. Infatti se indichiamo con k il numero di passi a destra, la complessione di una sequenza di n passi di cui k a destra sarà data dal numero di combinazioni di n elementi di classe k, cioè dal coefficiente binomiale: ⎛n⎞ n! ⎜ k ⎟= (12.1) ⎝ ⎠ k! ( n−k) ! Nel caso considerato, la posizione +2 è raggiungibile solo se su un totale di 4 passi 3 sono a destra e pertanto la relativa complessione risulta: ⎛4⎞ 4! 4⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 ⎜ 3 ⎟= = 4 ⎝ ⎠ 3! ( 4− 3 ) ! 3 ⋅ 2 1 1 = ⋅ ⋅ 133 ( ) ( ) (12.2) La probabilità che di 4 passi 3 siano stati fatti a destra, P4(3), e che quindi il nostro ubriaco si trovi alla coordinata +2 è dunque calcolabile come: 4 4 1 1 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ P4 ( 3) = ⎜ 3 ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝2⎠ = 4⋅ = 16 4 (12.3) In modo del tutto generale si può allora ricavare la probabilità che su n passi totali k siano stati fatti a destra:
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ANNO ACCADEMICO 2008 - 2009 DISPENS
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1. Densità PROPRIETÀ MECCANICHE E
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