DISPENSE DEL CORSO DI LABORATORIO DI CHIMICA – FISICA 1

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n ⎛n⎞⎛1⎞ Pn( k) = ⎜ k ⎟⎜ ⎟ (12.4) ⎝ ⎠⎝2⎠ È anche interessante notare che nel caso in cui l’ubriaco non abbia completamente perso la cognizione della direzione di casa, l’Eq. (12.4) può facilmente essere modificata tenendo conto che la probabilità associata ad ogni singolo passo a destra o a sinistra non è la stessa. Se ad esempio ipotizziamo che la casa dell’ubriaco si trovi a destra e che quindi la probabilità di un passo in questa direzione (p) sia maggiore della probabilità di una passo in direzione opposta (q), allora l’Eq. (12.4) si modifica nella forma: ⎛n⎞ k n−k Pn( k) = ⎜ pq k ⎟ (12.5) ⎝ ⎠ Riportando in forma di istogramma la distribuzione delle probabilità espressa mediante l’Eq. (12.4) nel caso n = 10 si ottiene il grafico riportato in Figura 79. Tale distribuzione prende il nome di distribuzione binomiale. P 10 (k) 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Come è facile osservare dall’Eq. (12.4), mentre il fattore ( 12) n decresce rapidamente con n, il coefficiente binomiale mostra valori sempre più grandi in corrispondenza del massimo della distribuzione. Come conseguenza la distribuzione diviene sempre più stretta intorno al valore massimo che pure diminuisce progressivamente al crescere di n. Ovviamente deve valere una condizione di normalizzazione, cioè la somma delle probabilità deve essere uguale all’unità, quindi: 134 k
n n n ⎛n⎞⎛1⎞ ⎜ k= 0 k= 0 k ⎟ ⎝ ⎠⎝2⎠ come è facilmente verificabile, almeno per valori di n piccoli. ∑Pn( k) = ∑ ⎜ ⎟ = 1 (12.6) Ora la distribuzione rappresentata da equazioni come la (12.4) o la (12.5), è una funzione + discontinua a variabili discrete ( f : → ) . Per valori di n molto grandi risulta allora + + conveniente utilizzare al suo posto una funzione continua ( f : → ) 135 che mostri analogo andamento a campana. Tale funzione esiste e corrisponde ad una Gaussiana normalizzata, cioè una funzione della forma: ( ) ( ) 2 f x = x−xmax 1 − 2 e 2σ 2 2πσ § (12.7) Un confronto tra una distribuzione binomiale nel caso n = 50 (istogramma) e una Gaussiana (curva continua) è mostrato in Figura 80. P 50 (k) 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 10 20 30 40 50 § La condizione di normalizzazione è ricavabile integrando la funzione gaussiana nella forma generale: ( ) ( ) 2 x−x0 − 2 2σ f x = Ae tra - ∞ e +∞ e uguagliando a 1. La primitiva della funzione integranda non esiste, ma esiste +∞ 2 +∞ 2 2 ed è finito il suo integrale tra - ∞ e +∞-: k 2 2 2 2 −( x−x0) σ −( x−x0) σ Ae dx = A e dx = A 2πσ ∫ ∫ . Uguagliando −∞ −∞ a 1 si ottiene per il fattore preesponenziale: A = 1 2πσ . 2
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