DISPENSE DEL CORSO DI LABORATORIO DI CHIMICA – FISICA 1

Altri metodi di fitting
Tra i vari metodi di fitting esistenti, alternativi al metodo dei minimi quadrati, è
opportuno accennare al cosiddetto metodo del minimo 2
χ . In pratica, nel caso di una
grandezza sperimentale y legata ad un’altra grandezza sperimentale x da una generica
funzione f, questo metodo consiste nell’imporre che sia minima non la somma dei quadrati
degli scarti, ma la quantità:
149
( ) 2
N
2 ⎛yi − f xi
χ = ∑ ⎜
i=
1 ⎝ σi
⎞
⎟
⎠
(12.59)
dove in pratica ciascuno scarto viene pesato con il relativo errore standard σ i ricavato da
misure ripetute della stessa coppia di valori xi, yi . Questo metodo dovrebbe essere usato di
regola in tutti quei casi in cui le misure hanno precisione differente. Nel caso di una retta il
metodo del
2
χ fornisce i seguenti risultati per i coefficienti a e b:
⎧ y xy
⎪ ∑ ∑ ∑ ∑
⎪
σ σ σ σ
a =
⎪
D
⎨
⎪ 1 xy y x
−
⎪ ∑ ∑ ∑ ∑
σ σ σ σ
⎪b
=
⎩
D
2
i
2
2
xi 2 −
xi
2
i i
2
i i i i
i i i i
2 2 2 2
i i i i
(12.60)
2
1 xi ⎛ xi
⎞
dove D = ∑ 2∑ −⎜ 2 ∑ 2 ⎟ .
σi σi ⎝ σi
⎠
Infine si deve tener presente che ogniqualvolta si ottiene un sistema che non è lineare nei
parametri, qualunque sia la funzione che si è scelto di minimizzare, il problema di trovare
la curva di best fitting non può essere risolto semplicemente con metodi analitici. Ciò che
si fa in questo caso è attribuire un valore approssimato ai parametri, e scrivere la funzione
di fitting come espansione in serie rispetto ai parametri troncata al primo ordine. Questa
espansione, opportunamente derivata e riarrangiata, fornisce un sistema di equazioni
lineari nelle correzioni da apportare ai parametri rispetto alle stime iniziali. Si procede
quindi con metodo iterativo finché non si giunge a convergenza (in pratica finché il valore
dei parametri non cambia tra un’iterazione e la successiva). Esistono molti programmi che
consentono di effettuare fit generalizzati in maniera semplice basati sulla procedura sopra
descritta.