DISPENSE DEL CORSO DI LABORATORIO DI CHIMICA – FISICA 1

n
∑ ( xi -x) P( xi)
= 0
(12.30)
i=
1
Infine la terza sommatoria rappresenta il valore di aspettazione dello scarto quadratico,
cioè lo scarto quadratico medio della grandezza sperimentale x:
n
2 2
∑ ( xi − x) P( xi)
=σx
(12.31)
i=
1
Tenuto conto dei risultati delle (12.29), (12.30) e (12.31) l’Eq. (12.28) assume la forma:
143
2 ⎛d f ⎞
⎜ 2 ⎟
⎝dx ⎠x
1
2
Ey [ ] = f( x)
+ σ x + (12.32)
2
Dall’Eq. (12.32) si deduce pertanto che qualora la funzione sia lineare (le derivate a partire
dalla seconda sono nulle) o quando i termini del 2° ordine e superiori sono trascurabili, si
ha semplicemente:
Inoltre esprimendo
y rispetto al suo valor medio y , si avrà:
Ey [ ] = y= f( x)
(12.33)
2
σ y come valore di aspettazione dello scarto quadratico della funzione
( ) ( ) 2
2
σ = ⎡⎡ − ⎤ ⎤
y E
⎢⎣ ⎣ f x f x ⎦
(12.34)
⎥⎦
e esprimendo f ( x ) mediante l’espansione in serie (12.27) troncata al primo ordine la
(12.34) diventa:
Da cui segue infine:
y
⎡⎡ E⎢⎢ f x
⎢⎣⎣ ⎛df ⎞
⎜ ⎟
⎝dx ⎠x
2
⎤ ⎤
⎥ ⎥ =
⎦ ⎥⎦
⎡
= E⎢( x− x) ⎢⎣ 2 2
⎛df ⎞ ⎤ ⎛df ⎞
⎜ ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ E⎡( x− x)
⎝dx ⎠x⎥ dx ⎣
⎦ ⎝ ⎠x 2
⎤ ⎛df ⎞
= ⎜ ⎟ σ
⎦ ⎝dx ⎠x
2
σ = ( ) + ( x−x) − f ( x)
2 2 2
x
(12.35)
df
σ y = σ x
(12.36)
dx
Cioè in una funzione di una sola variabile la deviazione standard si propaga come l’errore
massimo. Passiamo al caso più complesso di una funzione di due variabili f ( x, y ) . Con le
stesse approssimazioni applicate al caso precedente si trova: