DISPENSE DEL CORSO DI LABORATORIO DI CHIMICA – FISICA 1

2. Regressione bilineare.
Consideriamo il caso in cui una certa proprietà z è funzione lineare delle variabili
indipendenti x ed y e di due parametri a1 e a2 e supponiamo che solo z sia affetta da errore
sperimentale. Si ha dunque:
( , , , )
z= f x y a a = a x+ a y
(12.55)
1 2 1 2
Siamo in condizione di poter applicare il metodo dei minimi quadrati e trovare così i
valori dei parametri a1 e a2 che rendono minima la quantità:
N N
2 2 2 2 2 2
∑( i 1 i 2 i) ∑(
i 1 i 2 i 2 1 i i 2 2 i i 2 1 2 i i)
S= z−ax− ay = z + ax + ay − axz− ayz+ aaxy =
i= 1 i=
1
2
zi 2
a1 2
xi 2
a2 2
yi 2a1 xizi 2a2 yizi 2a1a2
xiyi ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
= + + − − +
Pertanto si deve risolvere il sistema:
⎧ ∂S
2
⎪
= 2a1∑xi − 2∑xizi + 2a2∑xiyi = 0
⎪∂a1
⎨
⎪
∂S
2
= 2a2∑yi − 2∑yizi + 2a1∑xiyi = 0
⎪∂ ⎩ a2
Si trova allora:
∑ ∑ ∑ ∑
⎧ xz y − x y y z
⎪a1
=
⎪
D
⎨
⎪
⎪⎩
a2
=
D
i i
2
i i i i i
148
(12.56)
(12.57)
2
∑yizi∑xi −∑xiyi∑
xz i i
(12.58)
dove ( ) 2
2 2
D= ∑xi∑yi − ∑ xiyi . Le principali relazioni relative ad una regressione
bilineare sono riassunte nella tabella seguente.
a
1
= ∑ ∑ ∑ ∑
Metodo dei minimi quadrati: regressione bilineare
2
xz i i yi − xiyi yizi D
a
2
= ∑ ∑ ∑ ∑
2
yizi xi − xiyi xz i i
( ) 2 2 2 2 2 2
∑ − − 2 ∑ + 1∑ + 2∑ − 1∑ − 2∑ + 1 2∑
2 z x a y z a x a y 2a x z 2a y z 2a
a x y
σ z = =
N−2 N−2
i i i i i i i i i i i i
2
a
2
σz
2
yi
σ =
1 D
∑
2 2
2 σz
xi
σ a = ∑ ( ) 2
2 2
D= xi yi − xiyi 2
D
D
∑ ∑ ∑