DISPENSE DEL CORSO DI LABORATORIO DI CHIMICA – FISICA 1

21
2 2
( )
Prdr P P
dvr=− =− rdr = R −r
(3.9)
R 2η 2η R 4η
r
∫ ∫ ∫
0
v r r
Dove si è imposto che la velocità vr sia nulla quando r = R, cioè quando la lamina è
aderente alla parete del condotto. Pertanto si ha:
2 2
( )
P
vr= R −r
(3.10)
4η
Poiché la velocità di ciascuna lamina di raggio r è proporzionale al quadrato di r, il profilo
di scorrimento delle lamine è parabolico. Definiamo ora flusso il volume di fluido che
attraversa un condotto nell’unità di tempo e quindi in termini differenziali:
dV
ϕ= (3.11)
dt
Ora, poiché ciascuna lamina di liquido (di spessore infinitesimo dr) scorre con una velocità
vr, trasporta, in un tempo t, un volume di liquido Vr pari ad una corona cilindrica di base
2πrdr e altezza pari a vrt. Il contributo al flusso totale portato da ciascuna lamina sarà
allora:
dVrd dϕ r = = { 2π rdrvrt} = 2πrvrdr (3.12)
dt dt
Il flusso complessivo sarà pertanto ottenibile come somma dei flussi infinitesimi
trasportati da ciascuna lamina:
R R
d r 2 rd
0 0
∫ ∫
ϕ= ϕ = πrv
r (3.13)
Introducendo nell’equazione (3.13) il risultato della (3.10) si ottiene:
Dunque:
2 2 π 2 2
( ) ( )
R P
ϕ= ∫ 2πr 0 4η R − r
R P
dr= η ∫ R
2 0
− r rdr =
R R
Pπ ⎧⎪⎡1 2 2⎤ ⎡1 4⎤ ⎫⎪
Pπ ⎡1 4 1 4⎤
PπR = ⎨⎢ Rr
⎥
−
⎢
r
⎥ ⎬=
⎢
R − R
⎥
=
2η⎪⎩⎣2 ⎦0 ⎣4 ⎦0 ⎪⎭
2η⎣2 4 ⎦ 8η
dV
PπR ϕ= =
dt8η 4
4
(3.14)
(3.15)
L’equazione (3.15) può facilmente essere integrata con separazione delle variabili ottenendo:
ed infine:
V 4 t
PπR dV = dt
(3.16)
8η
∫ ∫
0 0