DISPENSE DEL CORSO DI LABORATORIO DI CHIMICA – FISICA 1

Propagazione dell’errore in termini di deviazione standard
Come si è visto, quando si effettuano misure di una certa precisione, nelle quali si
osservano piccole fluttuazioni intorno ad un valor medio, la stima dell’errore, come
dispersione intorno a tale valore, è fornita dalla deviazione standard. Ci si propone
dunque di trovare come la deviazione standard di una grandezza che sia funzione di altre
grandezze misurate sperimentalmente dipende dalle deviazioni standard di queste ultime.
Consideriamo dapprima il caso semplice di una funzione di una sola variabile y = f ( x)
e
supponiamo che x e σx siano rispettivamente il valor medio e la deviazione standard della
variabile sperimentale x.
Definiamo valore di aspettazione della funzione f la quantità:
k
[ ] ( ) ( )
E f = ∑ f x P x
(12.25)
i=
1
142
i i
è evidente che nel caso semplice f ( x) = x l’Eq. (12.25) coincide con l’Eq. (12.17) e si
ottiene:
E[ f] = E[ x] = x
(12.26)
Ora se espandiamo in serie di Taylor la funzione y intorno al punto x otteniamo:
2
1 2 ⎛ ⎞
⎜ 2 ⎟
x 2
x
⎛df ⎞
y = f ( x) + ( x− x) ⎜ ⎟
⎝dx ⎠
+ ( x− x)
d f
⎝dx ⎠
+ (12.27)
In questo caso il valore di aspettazione della funzione y sarà allora:
2
⎛df ⎞ ⎡12⎛df⎞ ⎤
i ⎜ ⎟
i ⎜ 2 ⎟
⎝dx ⎠x ⎢2dx x ⎥
⎡ ⎤
Ey [ ] = E⎡⎣f( x) ⎤⎦+ E⎢( x− x) ⎥+
E⎢ ( x− x)
⎥+
=
⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠ ⎦
n
∑ f x P xi i= 1
n ⎡
∑⎢ xi i= 1⎣ x
⎛df ⎞ ⎤
⎜ ⎟ ⎥P
xi ⎝dx ⎠x⎦ n ⎡1 ∑
i= 1⎢⎣
2
xi x
2 ⎛df⎞ ⎤
⎜ P x
2 ⎟ i
⎝ dx ⎠x⎥⎦
n
f ( x) ∑P( xi) i= 1
n
⎛df ⎞
⎜ ⎟ ∑(
xi ⎝dx ⎠xi= 1
x) P( xi) 2
1 ⎛df⎞ n
2
x
2 ∑(
i − x) P( xi)
+
2 ⎝ dx ⎠xi=
1
2
( ) ( ) ( ) ( ) ⎢ ( ) ⎥ ( )
= + − + − + =
= + − + ⎜ ⎟
dove si è considerato che i termini ( )
2 ⎛ ⎞
⎜ 2 ⎟
x x
⎛df⎞ d f
f x , ⎜ ⎟ e
⎝dx ⎠ ⎝ dx ⎠
sommatoria vale 1 per la condizione di normalizzazione:
n
(12.28)
sono costanti. Ora la prima
∑ P( xi)
= 1
(12.29)
i=
1
La seconda sommatoria rappresenta il valor medio degli scarti dalla media che è nullo: