x - Fisica - Sapienza

Riformuliamo il problema. Supponiamo di aver misurato le 2 grandezze x 1 ed x 2 e di avere ottenuto
ˆx e
1
ˆx con le loro incertezze standard
2
s ( xˆ
1
) e s ( xˆ
2
) e di avere anche stimato una covarianza tra le
2 grandezze. Vogliamo trovare una stima di y che é una funzione di x 1 ed x 2 , y(x 1 , x 2 ) e una stima
della sua incertezza s (yˆ
) . Nel capitolo precedente abbiamo imparato a calcolare il valore atteso e la
varianza della popolazione della variabile causale y. Ora però per utilizzare quella formula,
dobbiamo applicarla a campioni di x 1 e di x 2 non alle popolazioni. Per fare ciò identifichiamo i
valori attesi di y di x 1 e di x 2 con le rispettive stime di y, x 1 ed x 2 , e le varianze con i quadrati delle
incertezze standard, secondo il procedimento che abbiamo già usato nel precedente paragrafo.
Identifichiamo infine la covarianza della popolazione delle 2 variabili con la covarianza
campionaria. Naturalmente questo passaggio richiede una identificazione campione-popolazione
che é lecita solo nella misura in cui i campioni “rappresentano” ragionevolmente bene le
popolazioni, cioé nel limite di errori casuali piccoli.
(3.3.2) Propagazione delle incertezze
Utilizzando le formule viste nel capitolo precedente, ed applicandola ai valori campionari, abbiamo
allora per la stima di y e per la stima della sua varianza:
yˆ
=
s(
yˆ)
y( xˆ
, xˆ
2
1
2
)
⎛ ∂y
⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ∂x1
⎠
2
xˆ1 , xˆ2
s(
xˆ
)
1
2
⎛ ∂y
⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ∂x2
⎠
2
xˆ1 , xˆ2
s( xˆ
2
)
2
⎛ ∂y
⎞
+ 2⎜
⎟
⎝ ∂x1
⎠
xˆ1 , xˆ2
⎛ ∂y
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂x2
⎠
xˆ1 , xˆ2
cov( xˆ
, xˆ
Soffermiamoci su questa formula. Vi compaiono 2 categorie di elementi: da un lato le derivate della
funzione y calcolate in corrispondenza dei valori stimati di x 1 e di x 2 , che non hanno nulla a che
vedere con le incertezze delle variabili x; dall’altra appunto le incertezze standard delle variabili x e
la covarianza tra queste, che sono invece grandezze indipendenti dalla forma di y, ma legati alla
nostra conoscenza sulle due variabili x ed anche al loro grado di correlazione. Sono questi 2
elementi a determinare l’incertezza propagata.
È utile a questo punto applicare la formula trovata al caso della misura indiretta delle densità dei
pesetti, per verificare se la deviazione standard delle misure di densità del campione di pesetti é in
accordo con il valore stimato in base alla propagazione.
In primo luogo calcoliamo le derivate della funzione y, poi prendiamo dai dati i valori stimati delle
deviazioni standard delle misure di massa e volume. Osserviamo dunque che le 2 misure non sono
correlate (nel senso che non sono correlati gli errori di bilancia e calibro).
Concludiamo dando una formula di propagazione molto utile nelle applicazioni, valida nel caso in
cui la funzione y sia una funzione ‘monomia’, cioè del tipo
y = kx
α
1
x
β
2
...
esprimibile come prodotto delle variabili x elevate a esponenti (anche negativi). In caso di non
correlazione si ha:
⎛ s(
yˆ)
⎞
⎜ ⎟
⎝ yˆ
⎠
2
⎛
2
s( xˆ
) ⎞
1
= α ⎜ ⎟
⎝ xˆ
1 ⎠
2
⎛
2
s( xˆ
) ⎞
2
+ β ⎜ ⎟
⎝ xˆ
⎠
2
2
+ ...
Si noti il ruolo determinante degli esponenti α e β con cui x 1 e x 2 compaiono nella formula. Essi
determinano in effetti quanto “fortemente” y dipende da x 1 e da x 2 .
(3.4) Nozione di consistenza e significatività: test d’ipotesi
1
2
)
100