You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
la varianza della media é (1/N) volte la varianza della variabile: la media ha dunque una varianza<br />
minore della variabile. Questo fatto giustifica l’uso di<br />
s<br />
N<br />
per la deviazione standard della media, che abbiamo usato tante volte. Quindi la media aritmetica<br />
risulta essere un estimatore “potente” perché al crescere del numero di misure diminuisce la sua<br />
varianza. Si noti come questo risultato sia indipendente dalla densità di probabilità della x. Esso<br />
costituisce pertanto un risultato di grande generalità.<br />
2<br />
Quanto ad s , calcoliamo ora il suo valore atteso. Qui il calcolo é leggermente più complesso. Lo<br />
svolgiamo esplicitando tutti i passaggi rilevanti.<br />
1 N<br />
1<br />
N<br />
2<br />
2<br />
2<br />
E[<br />
s ] = E[<br />
∑ ( x − x)<br />
] = E[<br />
∑ ( x − E[<br />
x]<br />
+ E[<br />
x]<br />
− x)<br />
] =<br />
i<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
N −1<br />
N −1<br />
1<br />
N<br />
N<br />
N<br />
2<br />
2<br />
= E[<br />
∑(<br />
x − E[<br />
x])<br />
+ ∑(<br />
E[<br />
x]<br />
− x)<br />
+ 2∑(<br />
x − E[<br />
x])(<br />
E[<br />
x]<br />
− x)]<br />
=<br />
i<br />
i<br />
i= 1 i= 1 i=<br />
1<br />
N −1<br />
1<br />
N<br />
N<br />
2<br />
2<br />
= E[<br />
∑(<br />
x − E[<br />
x])<br />
+ N(<br />
E[<br />
x]<br />
− x)<br />
+ 2( E[<br />
x]<br />
− x)<br />
∑(<br />
x − E[<br />
x])]<br />
=<br />
i<br />
i<br />
i= 1 i=<br />
1<br />
N −1<br />
1<br />
N<br />
2<br />
2<br />
= E[<br />
∑ ( x − E[<br />
x])<br />
+ N(<br />
E[<br />
x]<br />
− x)<br />
+ 2( E[<br />
x]<br />
− x)<br />
N(<br />
x − E[<br />
x])]<br />
=<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
N −1<br />
1<br />
N<br />
2<br />
2<br />
= E[<br />
∑ ( x − E[<br />
x])<br />
− N(<br />
E[<br />
x]<br />
− x)<br />
] =<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
N −1<br />
1 N<br />
2<br />
2<br />
= ( ∑ E[(<br />
x − E[<br />
x])<br />
] − NE[(<br />
E[<br />
x]<br />
− x)<br />
])<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
N −1<br />
1<br />
NVar[<br />
x]<br />
1<br />
= ( NVar[<br />
x]<br />
− ) = ( N −1)<br />
Var[<br />
x]<br />
= Var[<br />
x]<br />
N −1<br />
N N −1<br />
Dunque il valore atteso di s 2<br />
é pari a Var[x] come deve essere. Dunque il quadrato della nostra<br />
deviazione standard campionaria é un buon estimatore della varianza della popolazione.<br />
2<br />
Si noti che se avessimo adottato s avremmo avuto un 1/N in luogo di un 1/(N-1) davanti a tutto e<br />
N<br />
dunque alla fine avremmo avuto<br />
N −1<br />
E[ s<br />
2 N<br />
] = Var[<br />
x]<br />
N<br />
cioè una stima “distorta” della varianza. Questo giustifica l’uso dell’N-1 a denominatore che<br />
avevamo a suo tempo dato senza spiegazione chiara.<br />
Infine é interessante vedere quanto vale la “varianza della varianza”. Il calcolo risulta complesso,<br />
tuttavia il risultato é interessante:<br />
Var [ s<br />
2<br />
2( Var[<br />
x])<br />
] =<br />
N −1<br />
2<br />
(2.6) Variabili casuali notevoli.<br />
Passiamo a considerare alcuni casi notevoli di variabili casuali, che si prestano alla descrizione di<br />
vaste classi di fenomeni.<br />
(2.6.1) Distribuzione uniforme<br />
61
Change language