x - Fisica - Sapienza

(3.4.1) Consistenza tra risultati di esperimenti
Abbiamo dunque visto come in casi semplici si possono attribuire degli intervalli al valor vero sia
che si tratti di una misura diretta sia che si tratti di una misura indiretta. Supponiamo ora di aver
misurato una certa grandezza in laboratori diversi e con apparati diversi. Può essere, per esempio,
che diversi gruppi sperimentali siano impegnati in diversi esperimenti che intendono tuttavia
misurare una stessa grandezza per fare luce su un certo problema di fisica. Al termine di questi
esperimenti la comunità scientifica ha a disposizione N risultati diversi uno per ciascun
esperimento. Prima di qualunque altra cosa ci si chiede se i risultati ottenuti dai diversi esperimenti
siano tra di essi consistenti. La domanda é evidentemente di straordinaria rilevanza. Infatti la
consistenza tra diversi esperimenti, “rafforza” la conoscenza complessiva del fenomeno, mentre una
eventuale inconsistenza può significare che qualcuno degli esperimenti stia stimando male la
propria incertezza oppure che gli esperimenti stiano misurando grandezze diverse. Quest’ultimo é il
caso in cui uno o più degli esperimenti sono caratterizzati da errori sistematici fuori controllo che
fanno si’ che il misurando non rappresenti correttamente il valore vero.
Nel primo capitolo abbiamo accennato ad un confronto tra risultati basato sulla distanza in “numero
di deviazioni standard”. Quanto abbiamo detto allora é sostanzialmente corretto. Ora vogliamo
soltanto rendere più quantitativa la discussione fatta.
Supponiamo che i 2 esperimenti che vogliamo confrontare (A e B) danno il loro risultato sotto
forma di intervallo standard gaussiano del tipo x ± σ. Posso considerare la variabile casuale Δ=x A -
x B . Faccio allora la seguente ipotesi: i 2 campioni A e B provengono da due popolazioni gaussiane
caratterizzate da uno stesso μ e da varianze pari a quelle date da ciascun esperimento σ A e σ B . In
tale ipotesi la variabile Δ è anch’essa gaussiana. Il suo valore atteso sarà 0 e la sua varianza si
otterrà dalla formula della propagazione. Assumendo assenza di correlazione tra i 2 esperimenti
(circostanza ragionevole) avremo
2
2 2
σ = σ A
+ σ
Δ
B
e dunque la variabile
Δ
Z = σ
Δ
deve essere una variabile gaussiana standardizzata. A questo punto testare l’ipotesi di partenza
corrisponde a testare quanto é verosimile che la variabile Z cosi’ definita sia gaussiana
standardizzata (l’uso del termine verosimile in questo contesto non ha esattamente lo stesso
significato della definizione di verosimiglianza data sopra, ma ha un significato analogo). Per fare
ciò calcolo Z e vado a vedere nelle tabelle della distribuzione di Gauss normalizzata quant’è
P
( Z ) = P(( m > Z ) ∪(
m < − Z ))
cioè quanto é probabile che io ottenga un valore oltre Z in entrambi le code della gaussiana.
Evidentemente, più piccolo é il valore di questa probabilità più inverosimile é il fatto che Z
provenga da una popolazione gaussiana standardizzata.
Quanto detto corrisponde ad un esempio particolarmente semplice di test di ipotesi. Il procedimento
logico fatto può essere cosi’ ricapitolato:
si definisce una variabile casuale, detta statistica campionaria, funzione dei dati (la variabile Z
nell’esempio dato sopra) tale che se l’ipotesi é verificata la sua funzione di distribuzione é nota
(una gaussiana standardizzata nell’esempio dato sopra);
si calcola il valore di questa variabile;
si stima quant’è “verosimile” che il valore misurato provenga dalla distribuzione aspettata
(nell’esempio dato sopra calcolare P (Z)
sulla base delle tabelle).
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