x - Fisica - Sapienza

1
lim (1 +
∞
x
x
) =
x →
e
in cui e é il numero di Nepero (e=2.718...). Il limite a cui siamo interessati é riconducibile al limite
fondamentale di cui sopra, facendo la sostituzione 1/x=-λ/N :
⎛ λ ⎞
lim⎜1
⎟
N ∞
−
⎝ N ⎠
1
x ⎠
N
−λx
x − λ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ =
→
= lim 1
x→∞
+ = lim 1
x→∞
+
⎝
⎜
⎝
⎛
⎝
1
x ⎠
In conclusione abbiamo ottenuto la funzione di distribuzione di Poisson:
p(
n)
=
λ
λ −
n
e
n!
Si tratta della funzione di distribuzione della variabile casuale discreta n definita per valori tra 0 e ∞
ed avente come unico parametro λ. Si può dimostrare che la funzione cosi’ definita é normalizzata.
In Fig.2.9é mostrato il grafico della poissoniana per diversi valori di λ. Si noti che si tratta di una
funzione in generale non simmetrica, ma che tende a simmetrizzarsi nel limite di grandi λ.
⎞
⎠
e
−λ
Fig.2.9. Esempi di distribuzioni di Poisson per diversi valori di λ.
Il significato di λ risulta evidente quando calcoliamo il valore atteso e la varianza di n. Calcoliamo
E[n] ed E[n 2 ]:
n − λ
n−1
− λ
∞ λ e
∞ λ e
E[
n]
= ∑n
= λ∑
= λ
n=
0 n=
1
n!
( n −1)!
E[
n
2
∞
] = ∑ n
n=
0
2
n
λ e
n!
−λ
n−1
−λ
k
∞ λ e
∞ λ e
= λ∑n
= λ∑(
k + 1)
n=
1 k=
0
( n −1)!
k!
−λ
= λ(
λ + 1)
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