una retta e misurandone la pendenza, posso desumere il valore di g e vedere se é “più o meno” il valore che mi aspetto. (1.9.2) La scala logaritmica. Il tipo di scala non lineare più frequentemente utilizzata é la scala logaritmica. Si tratta di riportare sull’asse di una variabile x, non già direttamente x, ma il logaritmo del suo valore numerico: log(x/u) dove u é l’unità di misura di x. In altre parole, con riferimento alla scala temporale presa sopra ad esempio, il valore t = 6.2 s si trova, in scala logaritmica, nella posizione 1.82, il valore t = 12.4 nella posizione 2.52 ed infine il valore t = 37.2 nella posizione 3.62. Come si vede, la spaziatura delle 3 posizioni non rispetta più la partizione 1 / 2 / 6 della scala originaria. Ciò é un modo per dire che la scala risultante é non lineare (si noti che ho usato qui il logaritmo a base naturale, ma come vedremo nel seguito e come si può provare facilmente, la conclusione cui si giunge é la stessa qualunque sia la base che voglio utilizzare). La scala logaritmica viene utilizzata per 2 motivazioni principali. La prima motivazioni segue la stessa linea di pensiero della discussione fatta nel precedente paragrafo a proposito della carta quadratica. Infatti sono molti i fenomeni fisici che si lasciano descrivere da andamenti esponenziali, cioè del tipo: y = Ae − x / λ in cui x ed y sono 2 grandezze fisiche tra le quali ci si aspetta una relazione funzionale esponenziale con A e λ parametri (troveremo numerosi esempi di fenomeni di questo genere nel seguito). Prendendo il logaritmo di ambo i membri si ottiene: log [ y] = log A − x λ dunque la relazione funzionale esponenziale tra y e x, si traduce in una relazione lineare tra log[y]e x in cui logA svolge il ruolo di intercetta all’origine e soprattutto -1/λ svolge il ruolo di pendenza. Graficando log[y] in funzione di x anziché y in funzione di x, potrò meglio verificare che l’andamento é esponenziale. In più anche in questo caso, una rapida misura della pendenza della retta risultante mi permette di ricavare λ. La seconda motivazione per usare scale logaritmiche entra in gioco quando si vuole rappresentare una grandezza fisica che assume valori diversi per svariati ordini di grandezza. In tal caso una scala lineare tende a compattare tutti i valori e finisce per rendere illeggibile il grafico. Il fenomeno é illustrato in Fig.1.17. In che modo lo stesso grafico in scala logaritmica diventa decisamente più leggibile ? Il motivo sta in definitiva nella seguente, ben nota, proprietà dei logaritmi: [ ab] = log[ a] log[ b] log + Ogni volta che moltiplico a per un numero b, al log[a] devo aggiungere log[b], cioè nel mondo dei logaritmi, il moltiplicare per qualcosa diventa un sommare qualcos’altro, il prodotto si traduce in somma. Sull’asse logaritmico dunque, 2 intervalli di uguale lunghezza non corrispondono all’aggiunta di 2 intervalli di uguali entità in x, ma a 2 moltiplicazioni per lo stesso fattore. Per esempio i valori x = 2 cm, x = 20 cm e x = 200 cm vanno in scala logaritmica nelle posizioni 0.693, 2.995 e 5.298 cioè danno luogo a 2 uguali intervalli [5.298 – 2.995 = 2.995 – 0.693 = 2.302]. La spaziatura é chiaramente pari a log[10] cioè al logaritmo del fattore che c’è tra i 3 valori di x. Come abbiamo accennato sopra la base del logaritmo é irrilevante. Infatti un’altra proprietà dei logaritmi ci dice che i logaritmi di x calcolati in 2 basi diverse (diciamo a e b) sono uguali a meno di un fattore indipendente da x: log a [ x] = log b [ x]log a [ b] e dunque il cambio di base non fa altro che spostare tutta la scala di un fattore arbitrario. In Fig.1.18 mostriamo un esempio di carta semi-logaritmica, nella quale l’asse orizzontale é in scala lineare, quello verticale in scala logaritmica. Alcune considerazioni pratiche. 38
4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 300 400 500 600 700 800 900 1000 10 3 300 400 500 600 700 800 900 1000 10 2 10 1 Fig.1.17. Lo stesso istogramma in carta lineare (sopra) e semi-logaritmica (sotto). Si noti come la carta semilogaritmica consente di apprezzare la zona al di sotto di 600, cosa impossibile nel grafico in carta lineare. 10 2 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 1 10 -1 Fig.1.18 “Foglio” di carta semi-logaritmica. Le decadi sono state identificate con i valori 0.1, 1 10 e 100. 39
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