x - Fisica - Sapienza

Formalizziamo ora l’inferenza. Per fare ciò riprendiamo lo schema della prima parte del corso:
valor vero, misurando e risultato della misura.
Il misurando é caratterizzato da una popolazione (la sua funzione di distribuzione) che dipende sia
dal processo che si sta studiando, che dalle caratteristiche dell’apparato di misura. La misura si
riferisce invece ad un campione, che costituisce una realizzazione finita della popolazione. Dunque
tra popolazione e campione vi é un rapporto di natura statistica. Il valore vero invece non dipende
dall’apparato di misura, ma solo dal fenomeno. La differenza tra valore vero e valore misurato
(l’errore dunque) può sempre essere espresso come somma di 2 contributi:
differenza tra valore osservato e valore atteso del misurando (errore casuale)
differenza tra valore atteso del misurando e valore vero (errore sistematico)
Decomponiamo dunque l’errore complessivo δ nella forma:
δ = x − x = ( x − μ)
+ ( μ − x ) = δ + δ
v
m
v
m
sist
in cui, con ovvio significato di simboli, x v é il valor vero, x m quello misurato, e μ il valore atteso del
misurando.
Nel limite in cui il campione approssima bene la popolazione (per esempio altissimo numero di
osservazioni), l’errore casuale tende ad annullarsi in base alla legge della stabilità della frequenza.
In tale caso rimane la seconda sorgente di errore soltanto. L’errore sistematico é dunque quello che
rimane dell’errore, nel limite di statistica infinita.
Si noti che stiamo parlando di errori, non di incertezze. Lo sperimentatore non “vede” il misurando,
né “vede” il valore vero. Tuttavia deve stimare quanto sono questi errori dando degli intervalli di
probabilità per la grandezza.
(3.1.2) L’inferenza bayesiana
Ci sono vari metodi generali per l’inferenza cioè per fare il passaggio da x m a μ e da questo a x v .
Uno di questi é il metodo dell’inferenza bayesiana al quale accenniamo ora brevemente.
Utilizzando le definizioni appena date, possiamo chiamare f(μ/x m ) la funzione di distribuzione di μ
dato x m , che descrive la popolazione del misurando μ , condizionata all’essere stato ottenuto x m
come risultato della misura. Allo stesso modo chiameremo g(x m /μ) la funzione di distribuzione di
x m dato il parametro μ. Il problema é posto in modo tale che si può interpretare μ come la “causa”,
cioè la popolazione, e x m come l’effetto, ovvero il campione. La forma della popolazione del
misurando determina cioè il risultato della misura, con un meccanismo tipo causa-effetto. La
situazione é simile a quella che abbiamo visto in occasione del teorema di Bayes. Li’ avevamo una
formula che ci permetteva di passare dalle probabilità degli effetti date le cause, alle probabilità
delle cause dati gli effetti. Adattiamo la formula di Bayes al sistema popolazione - campione,
passando dalle probabilità di eventi alle densità di probabilità di variabili casuali continue, secondo
quanto visto nel precedente capitolo:
f ( μ / x )
m
= b
∫
a
g(
x / μ)
f ( μ)
m
0
dμg(
x / μ)
f ( μ)
m
0
A numeratore vi é il prodotto della funzione g detta verosimiglianza per la funzione f 0 che
costituisce la probabilità a priori del valore del misurando. A denominatore lo stesso prodotto é
integrato in dμ tra a e b che sono gli estremi dell’intervallo in cui μ è definito. L’integrale a
denominatore svolge il ruolo della sommatoria nella formula di Bayes per le probabilità.
Se conosco la verosimiglianza, cioè se conosco come é fatta la distribuzione del campione data la
popolazione (che dipende da come é fatto l’apparato di misura), e se ho una probabilità a priori
(eventualmente uniforme se non ho alcun “pregiudizio”) posso ricavare la funzione di distribuzione
del misurando. Il valore atteso di tale distribuzione, o il valore più probabile qualora la distribuzione
fosse in buona misura simmetrica, costituiscono la migliore stima del misurando.
Il passaggio poi al valore vero viene fatto usando tutte le conoscenze a disposizione relativamente
agli eventuali errori sistematici, e applicandoli come correzioni alla stima fatta del misurando.
cas
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