x - Fisica - Sapienza

A
A
s
a
=
(
Μ
Μ
Μ
=
( Μ
( 4 )
( 2 )
( 3)
( 2 )
( E[
x])
( E[
x]))
( E[
x])
( E[
x]))
2
3
− 3
Si noti che si tratta di coefficienti resi adimensionali nella definizione. In generale infatti il
momento n-esimo ha dimensioni [x] n e pertanto la media ha dimensioni [x] e la varianza ha
dimensioni [x] 2 .
Naturalmente le definizioni date, in particolare quelle di valore atteso e di varianza, si estendono a
combinazioni e funzioni di una o più variabili casuali. Vedremo nel seguito come si trattano questi
casi.
(2.5.6) Densità di probabilità di una funzione di variabile casuale
Se x é una variabile casuale (l’argomento vale anche per il caso discreto), una qualsiasi funzione di
x, y=y(x) risulta anch’essa una variabile casuale, nel senso che l’occorrenza di diversi valori di x
secondo le modalità della sua funzione di distribuzione, determina anche l’occorrenza dei valori di
y secondo le modalità di una funzione di distribuzione che dipenderà dalla distribuzione di x e dalla
funzione y(x). Senza entrare nei dettagli matematici vediamo come si ricava la densità di probabilità
di y, data quella di x e data la funzione y=y(x). Chiamiamo f(x) la densità di probabilità di x e g(y)
quella di y.
Supponiamo per semplicità che la funzione y(x) sia monotona nell’intervallo di definizione della
variabile x. In tal caso l’inversione della funzione, cioè il passaggio dalla y(x) alla x(y), avviene
senza difficoltà e la funzione x(y) é una funzione “monodroma” ovvero per ogni y vi é un solo x.
Data la relazione tra x ed y dovrà essere per ogni valore di x (che chiamiamo x ):
p ( x < x < x + dx)
= p(
y(
x)
< y < y(
x + dx))
= p(
y(
x)
< y < y(
x)
+ dy)
e dunque
f ( x)
dx = g(
y)
dy
da cui la relazione cercata:
dx(
y)
g ( y)
= f ( x(
y))
dy
dove il modulo é stato inserito per assicurare la positività della nuova densità di probabilità cosi’
ottenuta. Si tratta pertanto di invertire la funzione y(x), di calcolare la derivata della x(y) e di
moltiplicarne il modulo per la funzione f(x) in cui al posto della x mettiamo esplicitamente la x(y).
La g(y) cosi’ ottenuta é anche automaticamente normalizzata
b
y ( b )
1 = ∫ f ( x)
dx = ∫ g(
y)
dy = 1
a
y ( a )
se risulta normalizzata la f(x) di partenza.
In Fig.2.5é illustrato graficamente il caso in cui da una variabile x uniforme tra 0 e 1, si passa ad
una y=αx 2 . Il fatto che la y in questo caso non mantenga la stessa distribuzione della x uniforme é
comprensibile osservando che se considero i 2 intervalli [0,1/2] e [1/2,1] equiprobabili in x, questi
danno luogo a due intervalli di diversa grandezza in y ma che devono restare equiprobabili. Dunque
la y non può essere uniforme.
Le definizioni di valore atteso e varianza si estendono banalmente. Il valore atteso può essere
espresso nella forma:
y b
= )
b
E [ y]
∫ yg(
y)
dy = ∫ y(
x)
f ( x)
dx
(
y ( a )
a
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