x - Fisica - Sapienza

Fig.3.2 Lo stesso punto sperimentale con σ y =0.5 e σ x =0.1 in 2 situazioni diverse: in un caso la dipendenza tra
le 2 variabili nell’intorno del punto é espressa come y=x (dy/dx=1) nell’altro caso come y=7x (dy/dx=7). Le
frecce tratteggiate indicano il contributo dell’incertezza sulle x all’incertezza sulle y. Nel primo caso dunque
l’ipotesi descritta nel testo é verificata nel secondo chiaramente no.
Come si vede, le ipotesi sono abbastanza generali. Si noti che l’ultima ipotesi, quella
dell’andamento rettilineo, vale anche quando l’andamento non é direttamente rettilineo, ma può
essere “linearizzato”, cioè reso rettilineo con un semplice cambio di variabili. E’ il caso del grafico
T -√m nella molla, il grafico t 2 – s nel caso del volano scarico ed infine tutti i casi in cui
l’andamento atteso é esponenziale si prende in considerazione la carta semilogaritmica.
(3.5.3) Il fit: derivazione delle formule per le stime dei parametri
Utilizziamo il principio di massima verosimiglianza che abbiamo formulato nel par.(3.1.3). A tale
scopo dobbiamo costruire la funzione di verosimiglianza, cioè la densità di probabilità congiunta
delle y, dato il modello e i parametri m e c della retta. Osserviamo a questo scopo che essendo le N
misure di y indipendenti, la densità di probabilità congiunta delle y può essere espressa come il
prodotto delle densità di probabilità di ciascuna misura. Utilizzando le ipotesi fatte di gaussianità
delle y si ha:
2
N
N 1 ⎛ ( y − mx − c)
⎞
i
i
L(
y / m,
c)
= ∏ f ( y / m,
c)
= ∏ exp⎜
−
⎟
i
i= 1 i=
1
2
2πσ
i ⎝ 2σ
i ⎠
cioè la densità di probabilità congiunta (che abbiamo indicato con L da likelihood) é il prodotto di
2
densità di probabilità gaussiane, ciascuna con valore atteso dato dal modello (mx i +c) e varianze σ .
i
Trattiamo le x i come fossero delle costanti, in base alle ipotesi fatte.
Il principio di massima verosimiglianza ci dice che le migliori stime di m e di c sono quelle per cui
L é massima. Per affrontare in modo più semplice la matematica del problema procediamo con un
semplice artificio. Prendendo il logaritmo naturale di L otteniamo una nuova funzione
l = ln(L)
che tuttavia, date le proprietà di monotonia della funzione logaritmo assumerà il massimo in
corrispondenza degli stessi valori di m e di c che massimizzano L. Calcoliamo dunque l
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