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P( A) = 1− P( A) . A ed il suo opposto A costituiscono una “partizione completa” di Ω e pertanto qualsiasi evento B può essere scritto nella forma: B = ( B ∩ A) ∪ ( B ∩ A) come OR di 2 eventi incompatibili per cui la probabilità di B sarà: P( B) = P( B ∩ A) + P( B ∩ A) Si tratta di una decomposizione che viene utilizzata in molte delle dimostrazioni formali dei teoremi che vedremo nel seguito. Proprietà di inclusione. Vale la proprietà anch’essa intuitiva che se A ⊆ B allora P( A) ≤ P( B) Tale proprietà é facilmente dimostrabile decomponendo l’evento B nell’OR tra l’evento A (che é per ipotesi incluso in B) e il resto di B che é esprimibile come AND tra B e l’opposto di A B = A ∪ ( B ∩ A) Applicando al solito l’assioma dell’unione si ottiene: P( B) = P( A) + P( B ∩ A) ≥ P( A) essendo comunque per l’assioma della positività P ( B ∩ A) ≥ 0 Da ultimo vediamo come si generalizza l’assioma dell’unione al caso in cui i 2 eventi non siano incompatibili. Se considero 2 eventi A e B decompongo il loro OR nell’OR tra A senza B, B senza A e A e B insieme (3 eventi chiaramente incompatibili). Esplicitamente, A ∪ B = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ B) da cui usando l’assioma dell’unione P( A ∪ B) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B) + P( A ∩ B) Analogamente posso decomporre sia A che B in eventi incompatibili per modo che valgono le: P( A) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B) P( B) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B) Sottraendo membro a membro ed eliminando i termini uguali otteniamo l’importante teorema: P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) all’interno del quale l’assioma dell’unione é compreso come caso particolare di eventi incompatibili. Si noti che tale teorema ha un chiarissimo significato grafico. (2.3.6) Il teorema di Bayes Dimostriamo ora un ulteriore teorema che deriva dalla definizione assiomatica e che riveste un ruolo particolarmente rilevante nei problemi di “inferenza”. Vediamo prima il teorema e poi vedremo la sua interpretazione. Consideriamo lo spazio degli eventi Ω suddiviso in N eventi tutti tra loro incompatibili e tali da costituire una “partizione completa” di Ω. Chiamiamo A i l’i-esimo evento. Si ha per definizione: Ω = ∪ A i i ∀i, j( A ∩ A ) = 0 i j Con tale decomposizione la probabilità dell’evento B può essere scritta nella forma: 50
P( B) = N i= 1 i i= 1 N ∑P( B ∩ A ) = ∑P( B / A ) P( A ) i i dove abbiamo anche usato il teorema delle probabilità composte. D’altra parte, sempre sulla base del teorema delle probabilità composte scritto usando simmetricamente A e B posso derivare la relazione: P( A) P ( A/ B) = P( B / A) P( B) Applicando questa relazione all’evento B ed al generico A k ed usando per P(B) la decomposizione sopra descritta, otteniamo: P( B / A ) P( A ) k k P( A / B) = k N ∑ P( B / A ) P( A ) i= 1 i i Tale espressione esprime il Teorema di Bayes. Si tratta evidentemente di una conseguenza degli assiomi della probabilità. Proviamo a “leggere” questo teorema. Supponiamo che il fenomeno che sto studiando può aver luogo secondo N modalità diverse (gli N eventi Ai). Supponiamo inoltre di aver osservato l’evento B e di essere interessati a sapere quale o quali tra le N modalità Ai siano plausibilmente le “cause” di B. O, detto in termini più espliciti, se osservo l’effetto B e questo può essere dovuto a N cause diverse Ai, voglio, dall’osservazione dell’effetto stabilire la probabilità di ciascuna causa. Cosi’ formulato si tratta di un problema di straordinaria generalità. Infatti il procedimento dello sperimentatore consiste proprio nel registrare un effetto (il valore misurato) e nello stabilire un intervallo di probabilità per il valore vero che significa trovare quale tra le possibili cause é più plausibile. Il teorema di Bayes consente dunque di calcolare la probabilità delle cause, dato l’effetto osservato. Per fare ciò ho bisogno di 2 ingredienti: conoscenza di tutte le P ( A k ) cioè delle cosiddette “probabilità a priori” delle cause. Si tratta di una informazione che racchiude tutta la conoscenza a priori sul fenomeno che sto studiando. Se non ho nessuna conoscenza queste P ( A k ) immagino che siano uniformi cioè che tutte le cause possibili siano equiprobabili. conoscenza di tutte le P ( B / A k ). Si tratta per ogni Ak della probabilità di osservare l’effetto B se la causa che lo origina é Ak. Si chiama anche funzione di verosimiglianza (likelihood in inglese). E’ una funzione che racchiude tutte le conoscenze che ho sulla relazione tra causa ed effetto. Nel caso di un esperimento é la mia conoscenza dell’apparato di misura (precisione, errori sistematici, accuratezza, ripetibilità...) Il teorema di Bayes permette dunque di passare dalle probabilità per gli effetti alle probabilità per le cause. Può essere usato come base per il processo dell’inferenza che consiste proprio nel fare affermazioni sulle cause (i valori veri) dati gli effetti. (2.4) Il Calcolo Combinatorio. Vediamo ora alcune interessanti regole di calcolo che sono molto utilizzate nel calcolo delle probabilità, in particolare nella determinazione del numero dei casi favorevoli e di quello dei casi possibili che entrano nel metodo combinatorio di valutazione della probabilità. Parliamo del calcolo combinatorio. E’ importante sottolineare l’importanza del calcolo combinatorio in <strong>Fisica</strong>. Esso infatti entra in gioco non solo come vedremo nel calcolo delle probabilità, ma svolge un ruolo essenziale anche nella Meccanica Statistica, cioè in quel settore della <strong>Fisica</strong> Teorica nel quale vengono studiate le proprietà dei sistemi costituiti da molti elementi. I problemi di calcolo combinatorio di cui ci occuperemo qui, possono in generali essere tutti posti nel modo seguente. Supponiamo di avere un certo numero (diciamo n) di elementi, e supponiamo di avere la possibilità di disporre questi elementi in un certo numero (diciamo k) di caselle, un elemento a casella, secondo certe modalità date per costituire degli oggetti. Allora mi chiedo: quant’e il numero di oggetti che posso costituire o, detto in altri termini, il numero di modi in cui posso disporre gli n elementi nelle k caselle ? 51
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