x - Fisica - Sapienza

la media pesata ottenuta é la “migliore stima” di x sulla base delle informazioni a disposizione.
Pertanto, generalizzando alla combinazione di N risultati diversi, diamo la definizione di media
pesata:
N xˆ
i
∑
i=
1
2
s ( xˆ
)
i
x =
p
N 1
∑
i=
1
2
s ( xˆ
)
i
Si dimostra inoltre che la deviazione standard della media pesata é data da:
2 1
s ( xp
) = N
1
∑ 2
s ( xˆ
)
i=
1
i
Si noti che nel caso di incertezze tutte uguali si ritorna alla media aritmetica e alla deviazione
standard della media.
Giova ricordare che questo procedimento é applicabile solo al caso in cui si é preventivamente
verificato che le misure in questione sono campioni provenienti dalla stessa popolazione. Nel caso
questa ipotesi fosse rigettata questa combinazione non avrebbe significato, e allora occorre
procedere in modo diverso. Nel corso della discussione del fit (prossimo paragrafo) otterremo una
dimostrazione della formula della media pesata per il caso generale di N misure indipendenti.
(3.5) Analisi delle dipendenze funzionali: il fit
L’ultimo argomento che trattiamo in questo corso affronta uno degli aspetti più importanti
dell’indagine scientifica, in un certo senso il punto d’arrivo di ogni indagine sperimentale. Come
abbiamo detto nell’introduzione al metodo scientifico, il progresso conoscitivo si sviluppa
attraverso il confronto tra i risultati degli esperimenti e le predizioni dei modelli. In fisica i risultati
degli esperimenti sono espressi come misure, cioè come valori numerici di grandezze fisiche
opportunamente definite, mentre le predizioni dei modelli sono espresse o come valori numerici di
grandezze o come relazioni matematiche tra grandezze. Concentriamoci su questo secondo caso.
Formuliamo ora il problema in modo generale. Nel seguito risolveremo il problema solo in un caso
particolare, che tuttavia risulta essere di notevole rilevanza e generalità.
(3.5.1) Il fit: formulazione del problema
Supponiamo che il nostro esperimento consista nel misurare, al variare di una certa grandezza x,
una seconda grandezza, diciamo y. Effettuiamo N misure in corrispondenza di N diversi valori di x.
Avremo pertanto gli N valori di x x 1 ,x 2 ,...,x N e, in corrispondenza di questi gli N valori di y
y 1 ,y 2 ,...,y N . Naturalmente sia per quel che riguarda le x che le y, si tratta di misure e dunque ciascun
valore é affetto di una incertezza o, più in generale, costituisce un campione da una popolazione
caratterizzata da una certa funzione di distribuzione.
Supponiamo poi che le due grandezze x ed y siano legate, secondo un certo modello, da una
relazione funzionale del tipo
y = y( x,
θ )
cioè da una formula che esprime la dipendenza funzionale tra le due grandezze e che a sua volta
dipende da un certo numero, diciamo M, di parametri θ . Questo simbolo indica un insieme di
parametri. Per fissare le idee, il caso in cui l’andamento atteso dal modello sia di tipo rettilineo, la
funzione y sarà data da:
y = mx + c
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