x - Fisica - Sapienza

cioè può essere valutato sia integrando in y che in x.
y(x)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
f(x)
1.8 2 1.6
1.4
1.2
0.8 1
0.6
0.4
0.2
0
0 0.25 0.5 0.75 1
x
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
g(y)
4.5 5
3.5 4
2.5 3
1.5 2
0.5 1
0
0 0.25 0.5 0.75 1
y
Fig.2.5 Passaggio da una variabile casuale x distribuita uniformemente (in alto a destra) ad una y ottenuta da questa
come y = x 2 (vedi grafico a sinistra in cui sono mostrati intervalli di equiprobabilità in x che si trasformano in
intervalli di equiprobabilità in y). In basso a destra é mostrata la densità di probabilità della y g(y).
(2.5.7) La media e la deviazione standard come variabili casuali
Un caso molto particolare di funzione di variabile casuale che vogliamo introdurre a questo punto é
quello della media aritmetica x e del quadrato s 2 della deviazione standard campionaria che
abbiamo già introdotto nel Cap.(1) e che ora vogliamo analizzare come “funzioni di variabili
casuali”.
Infatti se x é una variabile casuale di valore atteso E[x] e varianza Var[x]é interessante chiedersi
quali siano le proprietà di xe di s 2
ottenuti a partire da un campione di dimensione N della
variabile x. Per fare ciò premettiamo una proprietà fondamentale (di cui omettiamo la
dimostrazione). Data una combinazione lineare di variabili casuali
y = ∑
N
a x i i
i=
1
si hanno le seguenti proprietà di linearità per valore atteso e varianza:
N
E[
y]
= ∑ a E[
x ]
i=
1
i
i
N
2
Var[
y]
= ∑ a Var[
x ]
i
i
i=
1
che discendono dal fatto che i momenti sono operatori lineari.
Utilizzando queste espressioni calcoliamo ora il valore atteso e la varianza della media aritmetica.
N
∑ xi
1 N
i=
1
E[
x]
= E[
] = ∑ E[
x ] = E[
x]
i
i=
1
N N
N
∑ xi
1 N 1
i=
1
Var[
x]
= Var[
] = ∑Var[
x ] = Var[
x]
2
i
i=
1
N N
N
Il risultato ci dice che:
il valore atteso della media é lo stesso della variabile: l’operazione di media non cambia valore
atteso, ovvero la media é un buon estimatore del valore atteso di x;
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