x - Fisica - Sapienza

(2.5.5) Momenti di una distribuzione
Le caratteristiche di una funzione di distribuzione sono determinate dalla forma della distribuzione
e dai parametri che la determinano. E’ molto interessante ed utile introdurre anche dei numeri che
caratterizzano la distribuzione, cioè delle misure complessive della distribuzione. Si tratta
dell’analogo di quanto visto per le frequenze nella prima parte del corso: dall’istogramma alle
caratteristiche numeriche quali la media e la deviazione standard.
Si definisce in generale Momento di ordine k intorno al valore n ~ (o x ~ nel caso di variabile
continua) della distribuzione, la quantità:
Μ
( k )
( n ~ ) =
n2
∑
n=
n1
( n − n~ )
k
p(
n)
nel caso di distribuzione di variabile discreta e
max
( )
Μ ( ~ x
k
= ∫ ( − ~ )
k
x ) x x f ( x)
dx
x min
nel caso di distribuzione di variabile continua. Ogni momento é evidentemente un numero.
Di particolare interesse sono i seguenti momenti:
Valore atteso: si tratta del momento primo (k=1) intorno allo 0 ( ~ x = 0 ):
n 2
(1)
Μ (0) = E [ n]
= ∑ np(
n)
n=
n1
x max
(1)
Μ (0) = E[
x]
= ∫ xf ( x)
dx
x min
il suo significato é quello di “valore centrale” o “valore medio” della distribuzione. In effetti nella
corrispondenza istogramma-distribuzione che più volte abbiamo considerato, é strettamente legato
alla media di un istogramma. Si noti che la definizione di valore atteso per una variabile discreta é
esattamente la media fatta sull’istogramma (definita nel Cap.(1)).
~ x = x ):
Varianza: é il momento secondo (k=2) intorno al valore atteso ( E[
]
Μ
Μ
( 2 )
( 2 )
n 2
2
( E [ n])
= Var[
n]
= ∑ ( n − E[
n])
p(
n)
( E[
x])
= Var[
x]
=
n=
n1
x max
∫ ( x − E[
x])
x min
2
f ( x)
dx
qui evidentemente l’analogia é con la nozione di deviazione standard campionaria, o meglio, con il
suo quadrato. E’ utile anche scrivere la varianza usando il simbolo dell’operatore valore atteso:
2
2
2
Var[
x]
= E[(
x − E[
x])
] = E[
x − 2xE[
x]
+ ( E[
x])
] =
2
2
2
2
2
= E[
x ] − 2( E[
x])
+ ( E[
x])
= E[
x ] − ( E[
x])
Si definisce anche deviazione standard della popolazione (con che a questo punto chiameremo
l’altra deviazione standard campionaria) la sua radice quadrata:
σ [ x ] = Var[
x]
che si indica con la lettera sigma.
Tra i momenti successivi di particolare interesse sono il momento terzo intorno al valore atteso
detto skewness ed il momento quarto sempre intorno alla media, dal quale si ricava il cosiddetto
kurtosys. In particolare, a partire da skewness e kurtosys si definiscono i 2 coefficienti
rispettivamente di simmetria e di appiattimento :
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