x - Fisica - Sapienza

P(
B)
= N
i= 1
i
i=
1
N
∑P(
B ∩ A ) = ∑P(
B / A ) P(
A )
i
i
dove abbiamo anche usato il teorema delle probabilità composte. D’altra parte, sempre sulla base
del teorema delle probabilità composte scritto usando simmetricamente A e B posso derivare la
relazione:
P(
A)
P ( A/
B)
= P(
B / A)
P(
B)
Applicando questa relazione all’evento B ed al generico A k ed usando per P(B) la decomposizione
sopra descritta, otteniamo:
P(
B / A ) P(
A )
k
k
P(
A / B)
=
k
N
∑ P(
B / A ) P(
A )
i=
1
i
i
Tale espressione esprime il Teorema di Bayes. Si tratta evidentemente di una conseguenza degli
assiomi della probabilità. Proviamo a “leggere” questo teorema. Supponiamo che il fenomeno che
sto studiando può aver luogo secondo N modalità diverse (gli N eventi Ai). Supponiamo inoltre di
aver osservato l’evento B e di essere interessati a sapere quale o quali tra le N modalità Ai siano
plausibilmente le “cause” di B. O, detto in termini più espliciti, se osservo l’effetto B e questo può
essere dovuto a N cause diverse Ai, voglio, dall’osservazione dell’effetto stabilire la probabilità di
ciascuna causa. Cosi’ formulato si tratta di un problema di straordinaria generalità. Infatti il
procedimento dello sperimentatore consiste proprio nel registrare un effetto (il valore misurato) e
nello stabilire un intervallo di probabilità per il valore vero che significa trovare quale tra le
possibili cause é più plausibile.
Il teorema di Bayes consente dunque di calcolare la probabilità delle cause, dato l’effetto osservato.
Per fare ciò ho bisogno di 2 ingredienti:
conoscenza di tutte le P ( A k ) cioè delle cosiddette “probabilità a priori” delle cause. Si tratta di
una informazione che racchiude tutta la conoscenza a priori sul fenomeno che sto studiando. Se non
ho nessuna conoscenza queste P ( A k ) immagino che siano uniformi cioè che tutte le cause possibili
siano equiprobabili.
conoscenza di tutte le P ( B / A k ). Si tratta per ogni Ak della probabilità di osservare l’effetto B
se la causa che lo origina é Ak. Si chiama anche funzione di verosimiglianza (likelihood in
inglese). E’ una funzione che racchiude tutte le conoscenze che ho sulla relazione tra causa ed
effetto. Nel caso di un esperimento é la mia conoscenza dell’apparato di misura (precisione, errori
sistematici, accuratezza, ripetibilità...)
Il teorema di Bayes permette dunque di passare dalle probabilità per gli effetti alle probabilità per le
cause. Può essere usato come base per il processo dell’inferenza che consiste proprio nel fare
affermazioni sulle cause (i valori veri) dati gli effetti.
(2.4) Il Calcolo Combinatorio.
Vediamo ora alcune interessanti regole di calcolo che sono molto utilizzate nel calcolo delle
probabilità, in particolare nella determinazione del numero dei casi favorevoli e di quello dei casi
possibili che entrano nel metodo combinatorio di valutazione della probabilità. Parliamo del calcolo
combinatorio. E’ importante sottolineare l’importanza del calcolo combinatorio in Fisica. Esso
infatti entra in gioco non solo come vedremo nel calcolo delle probabilità, ma svolge un ruolo
essenziale anche nella Meccanica Statistica, cioè in quel settore della Fisica Teorica nel quale
vengono studiate le proprietà dei sistemi costituiti da molti elementi.
I problemi di calcolo combinatorio di cui ci occuperemo qui, possono in generali essere tutti posti
nel modo seguente. Supponiamo di avere un certo numero (diciamo n) di elementi, e supponiamo di
avere la possibilità di disporre questi elementi in un certo numero (diciamo k) di caselle, un
elemento a casella, secondo certe modalità date per costituire degli oggetti. Allora mi chiedo:
quant’e il numero di oggetti che posso costituire o, detto in altri termini, il numero di modi in cui
posso disporre gli n elementi nelle k caselle ?
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