x - Fisica - Sapienza

Fig.2.11 Esempi di funzioni di distribuzione di Gauss per 3 scelte dei parametri μ e σ.
Per dare alla funzione di Gauss il significato di densità di probabilità di una variabile casuale x
qualsiasi occorre:
rendere adimensionale l’esponente;
rendere la funzione normalizzata (cioè ad integrale 1 tra – e + ∞).
A tale scopo introduciamo un secondo parametro che chiamiamo σ avente le stesse dimensioni di x
e scriviamo la funzione nella forma più generale:
f
1
e
2πσ
( x−μ
−
2σ
( )
x
=
)
2
2
che risulta correttamente normalizzata ad 1 (omettiamo la dimostrazione). Si tratta dunque di una
variabile casuale continua definita tra – e + ∞ caratterizzata dai 2 parametri μ e σ . I due parametri
cosi’ definiti risultano essere (anche in questo caso omettiamo la dimostrazione) rispettivamente il
valore atteso e la deviazione standard della variabile x
E [ x]
= μ
2
Var[
x]
= σ
Come già detto il massimo della funzione coincide con μ come si vede ponendo a 0 la derivata
prima. Ponendo a zero la derivata seconda si ottengono invece i due flessi in corrispondenza di
μ ± σ . Ciò fa vedere che il significato della deviazione standard é la distanza tra il massimo e i 2
flessi. Per avere una idea “grafica” della σ di una gaussiana basta osservare che la “larghezza a
metà altezza” (FWHM = full width at half maximum) é pari a 2.36 σ . Ciò fornisce un metodo
rapido per la valutazione della larghezza di una gaussiana.
La distribuzione di Gauss non ha una primitiva esprimibile analiticamente, pertanto i valori della
funzione cumulativa (che sono poi quelli che servono ai fini della valutazione delle probabilità)
sono in genere forniti sotto forma di tabelle. Naturalmente non é opportuno avere una diversa
tabella per ogni coppia di valori μ e σ. A tale scopo si introduce la variabile gaussiana
standardizzata o semplicemente normale cosi’ definita:
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