x - Fisica - Sapienza

In alcuni casi si può procedere nel modo seguente: viene fissato un certo valore di probabilità di
soglia. Se P(Z)
é inferiore a questo valore, l’ipotesi viene rigettata: in caso contrario viene
accettata. La scelta della probabilità di soglia é in qualche misura arbitraria. Scelta tipiche possono
essere il 10% o il 5% o anche l’1%. Si noti che la scelta di questa soglia dipende da quanto
vogliamo essere ‘severi’. Certamente assumere il 10% come soglia significa essere piuttosto severi,
ma comporta il rigettare il 10% dei casi buoni come se fossero cattivi. Viceversa, scegliere l’1%
significa ridurre questa eventualità all’1% ma significa anche aumentare la possibilità di prendere
come buoni casi cattivi. Si tratta dunque di trovare un compromesso che dipende dalla natura del
problema in questione.
(3.4.2) Consistenza tra esperimento e modello
Un caso simile al precedente che pure abbiamo incontrato nelle nostre esperienze di laboratorio é
quello in cui vi é un valore atteso per il risultato di una certa misura, valutato sulla base di un
modello o sulla base di una ipotesi che si fa sulla grandezza che stiamo misurando. Nel caso delle
misure di densità l’ipotesi é che i cilindretti siano tutti fatti di alluminio puro e dunque la densità
attesa é la densità dell’alluminio, assunta nota con incertezza trascurabile. Muovendoci secondo
quanto detto nel paragrafo precedente, e facendo di nuovo l’ipotesi che la nostra misura provenga
da una popolazione gaussiana, costruiamo la seguente statistica campionaria:
= x ˆ
Z
− μ
σ
in cui x é il risultato della misura, σ la stima della sua deviazione standard gaussiana ed infine μ è il
valore atteso. Da questo punto in poi si segue il ragionamento fatto sopra. Essenzialmente, dato il
valore di Z si tratterà di calcolare sulla base delle tabelle quanto vale P (Z)
e sulla base di tale
valore prendere una decisione.
Nel seguito vedremo un altro esempio di test di ipotesi quando discuteremo i fit. E’ opportuno
sottolineare che in ogni caso l’accettazione o il rigetto di una ipotesi non costituisce mai una
conclusione certa, ma sempre una conclusione di natura probabilistica. Giova ribadire qui quanto
già detto sopra, vale a dire che la scelta della probabilità di soglia determina la “severità” del test.
Maggiore é tale probabilità di soglia, maggiore é la nostra tendenza a rigettare i casi, nel senso che
l’accettazione dell’ipotesi si ha solo se l’accordo é molto buono. Ma proprio in questo caso diventa
più alta la probabilità di rigettare come falsa un ipotesi vera.
(3.4.3) Combinazione di diverse misure: la media pesata.
Supponiamo ora di avere verificato che i risultati di due esperimenti relativi alla grandezza x siano
consistenti, cioè che il test dell’ipotesi di consistenza abbia dato esito positivo. A questo punto ci
poniamo il problema di combinare i due risultati utilizzando tutte le informazioni a nostra
disposizione. Fare la media aritmetica tra i due risultati costituisce un approccio che ha un evidente
problema. Infatti il risultato della media sta appunto a metà tra i due. Supponiamo che uno dei due
risultati sia caratterizzato da una incertezza molto minore dell’altra. E’ naturale dare più credito a
quel risultato e fare le cose in modo tale che il risultato finale sia più vicino a quello tra i due che ha
incertezza minore. Si tratta cioè di fare una media pesata:
x p + xˆ
p ˆ1 1 2
x p
=
p + p
1
2
2
in cui p 1 e p 2 sono appunto due pesi. In base a quanto detto i 2 pesi devono essere legati alla
incertezza di ciascuna misura o meglio al suo inverso. Si dimostra che con la scelta
1
p =
2
s ( xˆ)
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