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Fig.2.1 Funzione di distribuzione della variabile discreta somma dei 2 dadi, ottenuta applicando il metodo combinatorio. frequenza 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Somma dei 2 dadi frequenza 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Somma dei 2 dadi frequenza 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Somma dei 2 dadi Fig.2.2 Esempi di distribuzioni “campionarie” della variabile (somma dei 2 dadi) per diversi numeri di lanci (2.5.2) Distribuzioni di probabilità di variabili casuali 54
Emerge da questi esempi in modo naturale la nozione di distribuzione di probabilità: ogni evento, ovvero ogni occorrenza di un possibile elemento dello spazio Ω é caratterizzato da una certa probabilità (che posso stimare a priori sulla base delle mie conoscenze del fenomeno). La distribuzione ci dice quanto vale p(E) cioè quant’è la probabilità che associamo a ciascuno degli eventi possibili. Questa distribuzione ha evidentemente una sua caratterizzazione grafica, nella quale la variabile casuale viene posta sull’asse delle ascisse, e la probabilità viene posta sull’asse delle ordinate. La forma ottenuta, esprime in definitiva tutte le proprietà note del fenomeno in esame. Tale forma é detta anche popolazione. Nel caso della Fig.2.1 abbiamo dunque la popolazione della variabile “somma di 2 dadi”. Se prendo 2 dadi e faccio un numero finito di lanci, e disegno l’istogramma dei valori ottenuti (vedi Fig.2.2 dove sono riportati 3 istogrammi per 3 diversi numeri di lanci) riportando sull’asse delle ordinate le frequenze con cui ciascun valore si é manifestato, ho ottenuto la descrizione di un campione preso dalla popolazione in esame. Nel limite in cui il numero di misure é elevato, sappiamo che la frequenza tende alla probabilità di occorrenza di quel risultato, ovvero, usando un linguaggio più appropriato, il campione tende ad approssimare la popolazione. Vediamo dunque che tra frequenza e probabilità vi é una “relazione” molto importante, che é la relazione che c’è tra l’istogramma e la distribuzione ovvero quella che c’è tra campione e popolazione. Distinguiamo subito tra 2 tipi di variabili casuali: (a) variabili discrete: i valori assunti possono essere solo interi compresi tra n 1 ed n 2 . (b) variabili continue: i valori assunti possono essere numeri reali compresi tra a e b (2.5.3) Variabili discrete. Il caso delle variabili discrete é sostanzialmente semplice. Per ogni n ho p ( n ) ovvero la probabilità che “esca” il numero n. Nel caso del dado, p(1)=p(2)=...=p(6)=1/6. Se voglio sapere la probabilità che esca un numero compreso tra n1 ed n2 farò: p ( n ≤ n ≤ n ) = 1 2 n 2 ∑ i= n1 p( i) infatti ogni uscita é incompatibile con l’uscita simultanea di un altro numero. Naturalmente per soddisfare l’assioma della certezza dovrà essere: N ∑ p( i) = 1 1= 0 se [0,N]é l’intervallo di definizione della variabile. (2.5.4) Variabili continue Nel caso di variabile continua, notiamo subito che esiste una novità fondamentale. Infatti noi sappiamo che i numeri reali costituiscono un insieme “comunque denso”. Un numero reale é a rigore, un numero che ha infinite cifre significative. Noi sappiamo bene in effetti che quando si fanno delle misure non ha molto significato chiedersi quant’è la probabilità che esca il numero reale 45.72. E’ più sensato chiedersi, quant’è la probabilità che esca un numero reale compreso tra 45.715 e 45.725. Si noti che nel caso delle variabili discrete questo problema non si pone. La probabilità che esca 10, é perfettamente definita. Nel caso dei numeri reali invece la probabilità che esca proprio x é a rigore “nulla”, non nulla é invece la probabilità che esca un numero compreso tra x e x+Δx. Per trattare il caso delle variabili casuali rappresentate da numeri reali, si ricorre ai metodi dell’analisi matematica, in particolare quelli del calcolo differenziale ed integrale. Vediamo di illustrare il procedimento logico di tali metodi senza pretendere di essere rigorosi. A questo scopo immaginiamo di dividere l’insieme di definizione della variabile reale x in intervalli (bins) larghi Δx, ciascuno centrato in un dato valore di x, diciamo x k , e di mettere in corrispondenza di ciascun bin una barra di altezza pari alla probabilità che x cada nell’intervallo 55
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