x - Fisica - Sapienza

compreso tra x k -Δx/2 e x k +Δx/2. Sostanzialmente abbiamo costruito un istogramma, abbiamo cioè
“discretizzato” una variabile continua rendendola simile ad una discreta. Chiamiamo P k l’altezza di
ciascuna barra e f(x k ) il rapporto
f ( x ) = P / Δx
k
k
La probabilità associata al generico intervallo [a,b] sarà data dalla somma sugli N bin contenuti
nell’intervallo [a,b]:
N
N
N
p(
a < x < b)
= ∑ p(
x − Δx
/ 2 < x < x + Δx
/ 2) = ∑ P = ∑
k = 1
k
k
k = 1
k
k = 1
f ( x ) Δx
Tale espressione costituisce una approssimazione alla probabilità che stiamo cercando di calcolare.
Se ora diminuisco sempre di più le dimensioni del mio bin, aumentando proporzionalmente il
numero di bins, cioè se faccio il limite per Δx -> 0 l’approssimazione diventa sempre più buona.
L’analisi mi insegna che sotto certe ipotesi sulla funzione, il limite della sommatoria esiste, e si
chiama integrale della funzione. Scriveremo perciò:
p ( a < x < b)
= ∫ f ( x)
dx
b
a
La funzione f ( x ) é detta densità di probabilità. Si tratta di una funzione che non ha né il
significato né le dimensioni di una probabilità, ma il cui valore in una certa zona di x ci dice quanta
é la “probabilità per unità di x” che x esca in quella zona. Per fissare le idee disegniamo una f( x )
qualsiasi (vedi Fig.2.3). Dal punto di vista grafico, la probabilità in questo caso é dunque l’area
sottesa alla curva tra a e b come illustrato in Fig.2.3. Il simbolo dx indica l’intervallo infinitesimo
della variabile x, cioè il limite per N grande di Δx. Quindi il segno di integrale appena definito ha il
significato di una somma di prodotti dei valori della funzione per la dimensione dell’intervallino,
quando ho implicitamente pensato di mandare all’infinito il numero di intervallini.
k
Fig.2.3 Esempio di densità di probabilità f(x) della variabile casuale continua x definita nell’intervallo (0,10).
L’area complessiva sottesa alla curva é pari a 1. Per determinare la probabilità che x sia compresa tra i 2 valori a e
b, (pari rispettivamente a 3 e 5 in questo caso) si deve valutare l’area indicata.
Con questo linguaggio l’assioma della certezza si tramuta nella:
x max
∫ f ( x)
dx = 1
x min
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